JOHANN BOLYAIS THEORIE DER IMAGINÄREN GRÖSSEN. 289 
denotantibus «; b, ce cathetos hypotenusamque, « angulum catheto 
ad oppositum, denique i certam rectam ibidem definitam (in se et 
per se in suppositione praesenti determinatam); equibus duabus 
aequationibus jam omnes reliquae trigonometriae planae fluunt. 
Has aequationes autem contemplanti patebit triangula rectangula 
plana et proin totum planum superficiemque ei aequidistantem 
(quales jam, ipse quoque in eandem theoriam incidens, ante mul- 
tos abhine annos hypersphaericas appellavi) prorsus simili 
modo ac superficiem sphaerae in calculo tractari posse, ita quidem, 
ut si quantitatem illam r, qua latera Ali rectanguli in superficie 
quavis undique uniformi existentis dividenda sunt, ut statui possit 
cos cos .cos — , 
r r % 
e. 8. parametrum hujus superficiei appellare placeat: para- 
metri superficierum sphaericarum reales, parametri superfici- 
erum plano zquidistantium imaginariae (il. e. quantitates vere 
existentes cum signis +, +“ affectae) evadunt; parame- 
ter plani = (pariterque 4:1) erit. 
At potest res aliter quoque concipi. Posset nempe, sed minus 
naturaliter, idonee, recte, simplieiter, eleganter, etiam planum 
tamquam ad parametrum  pertinens considerari, atque rectae 
ipsae, in plano vicem arcuum eirculorum maximorum subeun- 
tes ut arcus imaginarii quoad parametrum i spectari: sed 
quo pacto (ut ostendi potest) parametris ipso ? minoribus 
nullae superficies uniformes tales, quarum arcus, ad finem plane 
expositum, pro imaginariis haberi possent, respondent. 
Ex ingenti multitudine disquisitionum elegantissimarum 
hoc argumentum gravissimum (i. e. geometriam absolutam ab XI. 
euclideo axiomate independentem) concernentium plura hie referre 
non licet. Pt equidem plane per hane disquisitionem, hoc labore 
occupatus annis abhinc 4 seculo fere, in theoriam veram imagi- 
nariorum incidi, acquisivi, tentawvi. 
8. 10. 
Quod eonstructionem quantitatum in geometria attinet, 
ea quidem (in sensu praesenti in praecedentibus explicato) pror- 
19 
Mathematische und Naturwissenschaftliche Berichte aus Ungarn. XVI. 
