ÜBER DIE LINEARE TRANSFORMATION D. THETAFUNCTIONEN. 53 



deren Determinante 



A = a ° h ° =1 (B) 



a x b t 



ist, durch andere Indices m, n ersetzt, so ändert das obige Pro- 

 duct seinen Werth derart, dass zu demselben die Exponential- 



grÖSSe * ia.ni , i„ 



als Factor hinzutritt (wobei d = -f- 1 oder = — 1 ist, je nach- 

 dem der Coefficient von * in dem Quotienten j der beiden Pe- 



riodicitätsmoduln positiv oder negativ ist).* Eisenstein knüpft 

 hieran (bezw. an den allgemeineren Fall, in welchem die Sub- 

 stitutionsdeterminante von 1 verschieden ist) die Bemerkung, „dass 

 alles, was man bisher mit dem Namen 'Transformation der ellip- 

 tischen Functionen' bezeichnet hat, unter dieser allgemeineren 

 Gattung von Transformationen der Indices begriffen ist".** 



Auf der hierdurch gegebenen Grundlage beabsichtige ich, im 

 Folgenden die lineare Transformation der Thetafunctionen allgemein 

 durchzuführen, nachdem ich in einer früheren Arbeit*** mehrere 

 specielle Fälle als Beispiele zu einigen allgemeineren Bemerkungen 

 behandelt habe. 



Es empfiehlt sich von vornherein, diejenige Thetafunction, 

 deren Productdarstellung die einfachste Gestalt besitzt, nämlich 



00 00 



der Untersuchung zu Grunde zu legen und die drei anderen 

 Thetafunctionen auf diese zu reducieren. 



Zu diesem Zweck erhält man leicht aus den allgemeineren 

 Formeln für die Vermehrung des Argumentes um halbe Perioclenf 

 die specielle Formel: 



* A. a. 0. S. 184 bezw. 244. ** A. a. 0. S. 190 bezw. 250. 

 *** Die Anwendung unendlicher Producte in der Functionentbeorie. 

 G-ymnasialprogramm Sächsisch-Regen, 1899. 



T S. z. B. Koenigsberger, Vorlesungen über die Theorie der elliptischen 

 Functionen, Bd. I, S. 371. 



