ÜBER DIE LINEARE TRANSFORMATION D. THETAFUNCTIONEN. Dl 



wofür auch gesetzt werden kann: 



Fassen wir diesen Ausdruck mit allen noch übrigen, d. h. von v 

 und t unabhängigen Gliedern der Exponenten zusammen, so er- 

 halten wir: 



[- 1 h (1 - 9x) + 1 K (1 - 9u) ~ I « ~ »2 J (1 - 9x.) 



+ 1 (9 - &J + i (tö ~ 9M] **, (9) 



wofür wir der Kürze halber setzen wollen: 



\Mici, 



wo M jedenfalls eine ganze Zahl bedeutet. 

 Die Gleichung (8) geht hiernach über in 



e fr . fo T ) = ( a<) -f a x r) • ^ ( ^ ^ • e --M*,*); (10) 



oder, wenn wir für die constanten Factoren eine einfachere Be- 

 zeichnung einführen, in 



a 1 {a a -\-a-,t)v'*7li , . „ -=-Mrti , , , 



e fr, (*,*)= Ca* .^Kr'), (11) 



wo also nach dem Obigen 



/ v , b -\-b l r 



rQ <£ _¥ ! i — 



a o ~\~ a i r ' a -\- a x r 



ist und der Index k t mittelst der Congruenzen 



K = — ^i9x+ a oh\ 



zu bestimmen ist. — Nach dem gewöhnlichen Sprachgebrauch 

 bezeichnet & ?1 (y' } r') die ursprüngliche, -9^ (y } %) die transformierte 

 Thetafunction. 



Es erübrigt noch die Bestimmung der Constanten C. 



Die Transformationsgieichung (10) bietet dieselbe in einer 

 Form dar, welche nicht nur einen directen Einblick in ihre Natur, 

 sondern auch eine einfache Berechnung zulässt. 



Wir bemerken zunächst, dass nach (5) und (7) für A = 1 

 stets auch X x = 1 wird, und umgekehrt, und dass gleichzeitig 



