ÜBER DIE LINEARE TRANSFORMATION D. THETAFUNCTIONEN. 61 



X = t -j- i x i , 



so muss ^ eine positive, von Null verschiedene reelle Zahl bedeuten. 

 Um (o) zu erfüllen, erkalten wir aus (n) 



, , i = & + &i t + \ t x t 

 ' * a + a x t -\- a x ^ * } 



und hieraus ergiebt sich sofort durch Sonderung der reellen von 

 den imaginären Bestandtheilen : 



a t + %t 2 — a t t t 2 = b + %,t ) _ 



0^ + 20^ =6^ I ' W 



Aus der zweiten dieser Gleichungen kommt 



, _ a n — &, 



2a x 7 

 und durch Einsetzen dieses Werthes in die erste Gleichung geht 



wo das Vorzeichen derart zu bestimmen ist, dass t t positiv ist. 

 Die Wurzel ist also positiv oder negativ zu nehmen, je nachdem 

 a x positiv oder negativ ist. Dieses können wir einfach ausdrücken 

 durch die Bezeichnungsweise 



** = + 4 • w\ ' v- k - M 2 - Wo • 



Mit Berücksichtigung der Relation 



a (A — a i\ == i 



können wir den letzten Ausdruck noch etwas einfacher folgender- 

 maassen darstellen: 



Es ist zu bemerken, dass diese Darstellung nur so lange 

 Giltigkeit besitzt, als a x von Null verschieden und der Ausdruck 

 unter dem Wurzelzeichen positiv ist, da t x eine reelle Zahl sein muss. 



Wir erhalten nunmehr für den gesuchten Werth der Moduln 



T = T 



" + ^-T^rV-{% + hf + i: 



2a x ' 2 a x \ a 



