230 J. KÜRSCHÄK. UEBER DEN RANG DER DETERMINANTE U. S. W. 



Also wenn m = Je, d. h. wenn | S j von Null verschieden ist, 

 so hat auch \J n (S)\ einen von Null verschiedenen Werth; mit 

 anderen Worten: der Rang von | J n (S) | ist dann gleich der 

 Ordnungszahl: 



3. Es sei nun m < h. Wir können und wollen voraussetzen, 

 dass gerade 



K-l 



(;,j = l, 2, .. ., m) 



von Null verschieden sei. 



Es bedeute dann T folgende Substitution 



Vj — -^ij g i ~~r ' ' " ~r An; m ~r B m + ij z m + 1 + • • • + -Bjcj h 



U = l, 2, ..., *) 

 WO 



die zur J-ten Säule gehörigen Subdeterminanten von 



T == I a ljJ • ■ •> a mj Pm + lj) • • •> Pkj i 

 (j = l, 2,.. .,*) 



sind. Hier können die ß beliebig gewählt werden, mit der ein- 

 zigen Bedingung, dass r = 1 sei. 

 Die Substitution ST ist dami 



X l = Z X X 2 ~ 2%} • • •> X m = 8 m X m + 1 = V, ■ ■ •> %k = V. 



Nun lässt sich unmittelbar erkennen, dass die Determinante 



| J n (ST) \ vom Range 



»-r + : _1 ) 



ist. Man hat aber stets 



J n (ST) = J n (T)J n (S), 



d. h. die Determinante | J n (ST) | ist die componierte von | J~ n (S) | 

 und von der Determinante \J n (T) , deren Werth gleich 1 ist. 

 Folglich müssen | J n (S) | und | J n (ST) | denselben Rang haben. 



