XOTES SUR LES SUBSTITUTIONS ORTHOGONALES. 233 



La demonstration de ce theoreme n'exige que tres peu de 

 inots. Soient les substitutions lineaires precedentes (A) et (B) 

 orthogonales, alors les egalites 



m m 



1=1 i = i 



et 



n n 



2 t =2 Vj (2) 



j=i j = i 



sont identiquement satisfaites. 



Pour demontrer que la Substitution 



P = AxB 



est aussi orthogonale, il suffit de prouver que l'egalite 



m n m n 



2 2 (*.*) s = 2 2 <*#/ y ( 3 > 



» = l j = i i==.i ; = i 



est juste. Mais cela est tout evident, car 



2* 2W 2 =2 2 1 w = 2^ 2t 



8=1 i = l 8 = 1 ;=1 



et en considerant (1) et (2), on a 



22^y=(2*m2yi)=22/!yi 



n 



= i j=i v=i \i=i ; = i j=i 



Tri n 



ce qu'il fallait demontrer. 



* 



2 



Ajoutons encore que du theoreme de determinants cite au 

 debut et de ce que nous venons de demontrer, il resulte: 



1. Quand (A) et (B) sont des substitutions orthogonales 

 droites (c'est - ä - dire que leur determinant est -f- 1), alors 

 P = A X B est egalement une Substitution orthogonale droite, 



