234 GUSTAVE EADOS. 



2. Quand (A) est droit et (B) gauche suivant que m est 

 pair ou impair, P = A X B sera droit ou gauche. 



3) Quand (A) et (B) sont tous deux des substitutions gauches, 

 alors P = Ax B est droite ou gauche suivant que m -(- n est 

 pair ou impair. 



Un autre fait digne reniarquable d'attention est ceci: en 

 prenant au lieu de (A) toutes les substitutions du groupe ortho- 

 gonal le plus general de la dimension m, et au lieu de (B) toutes 

 les substitutions du groupe orthogonal le plus general de la di- 

 mension n, les substitutions orthogonales de la dimension mn 

 resultant de P = ( A X B) formeront aussi un groupe. Car il 

 est facile de se convaincre, que les produit- substitutions de sub- 

 stitutions composees sont egales ä la composition des produit- 

 substitutions des composants, c'est-ä-dire 



(AA t x BB X ) = {AxB) (A x x B,) 



ou AA X designent la composition des substitutions de la dimension 

 m A et A x , BB 1 celle des substitutions de la dimension n B et B v 

 et (A X B) (A 1 X P x ) celle des substitutions de mn dimensions 

 (A X B) et (J. x X PJ. Comme en autre, de la nature ortho- 

 gonale des substitutions A, A 1} B, B x il resulte la propriete 

 d'orthogonalite des substitutions de la dimension mAA t et de 

 Celles de la dimension nBB x - il est bien evident que la totalite 

 des substitutions 



P = AxB 



forme un groupe. Ce groupe est un sousgroupe de 



L 2 I 2~ J 



termes du groupe orthogonal le plus general de la dimension mn 



qui est de ^— - — ! — - termes (c est i expression de Lie pour 



indiquer que le groupe depend de ^— parametres). 



Qu'il me soit permis d'elucider le theoreme par un exemple. 

 Soient donnees les substitutions orthogonales de deux di- 

 mensions 



X-! = x,' cos a — x 9 r sin cc 



> . • . > ( A ) 



x 2 == x 2 sm a -f- x % cos a N 



