242 GUSTAV RADOS. 



Zu einem gegebenen Wertliepaar (i, k) gehören m ■ n solcher 

 Gleichungen, welche für die Producte 



X {i) y(k) 



a J p 

 (a =1, 2, . . ., m ; (i = 1,% . . , n), 



deren Anzahl m • n ist, ein homogenes lineares Gleichungssystem 

 ergeben. Diese Producte können nicht sämmtlich verschwinden 

 Wird nämlich angenommen, dass 

 3#> yW = 



a J p 



(a = 1, 2, . . ., m ; ß = 1, 2, . . ., n), 



so würde, da wenigstens ein Werth, z. B. x { p des das Doppel- 

 element (x^\x^\ ..., x^[) repräsentierenden Werthsystems von Null 

 verschieden ist, aus den Relationen 



x f y f) = o, xf yf = 0, xf yf = 0, af ^ 



folgen, dass 



#=Ö, yf=Q,.., s#>=0, 



was unmöglich ist, da 



ein Doppelelement repräsentiert und daher wenigstens ein yW von 

 Null verschieden sein muss. 



Da es also für jedes Werthepaar (ih) eine solche Lösung 

 des Systems der homogenen linearen Gleichungen (3) giebt, in 

 welcher nicht die Werthe sämmtlicher Unbekannten verschwinden 

 (die Existenz einer solchen Lösung haben wir ja soeben er- 

 wiesen), muss die Determinante des Systems der Gleichungen (3) 

 verschwinden. Schreibt man diese Determinante mit Hülfe der 

 in der Einleitung aufgezählten Abkürzungen hin, so ergeben sich 

 folgende Gleichungen: 



J 11 + j5-(A i +^.)- 4 12 ■■■Am 



4i 4« + 3-&+>*)---A, 



\Anl An* Anm + B-th+Ui) 



(? = 1, 2, ...,m; Jfc = l,2, ...,«)' 



welche schon deutlich zeigen, dass die Summen 



* = h + h 



(i= 1,2, . . ., m; k = l, 2, . . ., n) 



