260 J. KÜRSCHAK UND P. STÄCKEL. 



habe „einen groben Fehler begangen", uns nicht berechtigt er- 

 scheint. 



„Am Anfange des § 27 vergleicht Lobatschewsky die Seiten 

 des sphärischen Dreiecks mit %, und sagt sie seien < 71. Daraus 

 ersieht man, dass er darunter eine mit den Seiten gleichartige Grösse 

 versteht, also entweder eine Länge, oder aber ein blosses Ver- 

 hältnis, eine ' abstracte Grösse-, ich sage nicht Zahl, da dieses Wort 

 auf irrationale Grössen nicht anwendbar ist, ja sogar für Brüche 

 unzweckmässig erscheint, und am besten nur für ganze Grössen 

 benutzt wird. Dass er nun % im letzteren Sinne, d. h. als blosses 

 Verhältnis, benutzt, das ist aus der Mitte der Seite 28 ersichtlich, 

 wo er von den dortigen sphärischen Dreiecken behauptet, sie 

 seien zusammen gleich 7t- Längen und Flächen können nämlich 

 nur in diesem Sinne einander gleich sein. Ja! aber sobald man 

 concrete Grössen wie Verhältnisse behandelt, so muss man für 

 sie eine Maasseinheit bestimmen. Dann kann man freilich Flächen 

 mit Linien vergleichen. Soll aber zum Beispiel der Flächeninhalt 

 des Parallelogrammes auf F gleich dem Product der Seiten sein, 

 so muss man zur Flächeneinheit jenes Quadrat nehmen, dessen 

 Seite gleich der Längeneinheit ist. Da der Verfasser über dieses 

 alles zu sprechen versäumt hat, so sieht man, dass er % und 2jR 

 verwechselt und über sie keinen klaren Begriff giebt. Aus seiner 

 Betrachtung folgt aber nur so viel: Versteht man unter einem 

 von zwei halben Hauptkreisen bestimmten zweieckigen Winkel 

 den kleineren der von beiden eingeschlossenen Kugelsectoren, so 

 ist der Flächeninhalt des sphärischen Dreiecks gleich der Hälfte 

 der um die Halbkugel verminderten Winkelsumme. Von Zahlen 

 oder Verhältnissen ist hier noch keine Rede." 



Johann meint aber, es sei einfacher und einzig richtig, unter 

 dem Winkel, der von zwei Geraden oder mehreren durch einen 

 Punkt gehenden Ebenen gebildet wird, den von diesen begrenzten 

 Theil der Ebene oder des Raumes zu verstehen. „Dann kann 

 bewiesen werden, dass auf jeder überall gleichmässigen Fläche 

 der Flächeninhalt des von drei Hauptlinien begrenzten Dreiecks 

 gleich ist der Winkelsumme weniger 2B, sagen wir z, multipli- 

 ciert mit der zweiten Potenz des Strahles (Radius) jener Fläche. 

 Also ist auf der Kugel, deren Strahl (Radius) gleich dem X-Bogen 



