BEMERKUNGEN J. BOLYAl's ÜBER LOBATSCHEWSKY. 261 



der Länge 1 ist, der Flächeninhalt des Dreiecks gleich z, und der 

 Flächeninhalt des ebenen Dreieckes ist (da z negativ und der 

 Strahl gleich + ]/ — 1 ist) ebenfalls gleich dem absoluten Werthe 

 von z u *. 



„Lobatschewsky vergleicht die Winkel schon in § 16 mit tt, 

 und da man unter Winkeln nur den zwischen den unendlichen 

 Schenkeln befindlichen unendlichen Theil der Ebene oder aber 

 ein Verhältnis verstehen kann, so ergiebt sich daraus im Verein 

 mit dem Uebrigen, dass er unter jeder Grösse ein Verhältnis ver- 

 steht. Und er kann dies, Trenn er zur Winkeleinheit jenen Winkel 

 wählt, bei dem sich der um den Scheitelpunkt zwischen den 

 Schenkeln beschriebene Kreisbogen zu dem Halbkreise mit gleichem 

 Radius so verhält wie 1 zu dem unabhängig von der Geometrie 

 bestimmten tc. Wenn er dann aber meint, dass auf der Kugel 

 in diesem Sinne der Kugel- Sector oder ziueiecltige Winkel gleich 

 sei dem bei dem Scheitelpunkt befindlichen Ebenenwinkel, also 

 die Halbkugel gleich it, so ist diese Behauptung theils un- 

 begründet und unbestimmt, theils geradezu falsch. Der Winkel 

 in dem genannten Sinne ist nämlich unabhängig vom Radius. 

 Da nun also der Sector sich mit dem Radius ändert, so fehlt 

 hier augenscheinlich etwas Wichtiges, nämlich die Angabe des 

 Radius jener Kugel, auf welcher der Sector zu nehmen ist. Von 

 diesem Radius lässt sich erst später zeigen, wie er zu nehmen ist, 

 und dass es am einfachsten ist, ihn gleich der senkrechten Ordi- 

 nate des mit i gleichen Z-Bogens zu nehmen. Dann kann man 

 aber beweisen, dass nicht der ganze Sector, sondern dessen Hälfte 

 dem genannten Winkel gleich ist. Also hat Lobatschewsky 

 hier einen groben Fehler begangen, es sei denn er habe, was man 

 kaum voraussetzen kann, als Kugelradius die senkrechte Ordinate 

 des 2i gleichen Z-Bogens genommen." — 



An einer späteren Stelle ist Johann — in Gestalt einer 

 längeren Anmerkung — auf die Winkelmessung zurückgekommen. 

 „Einen Winkel", sagt er, ,,kann man am directesten dadurch be- 

 stimmen, dass man ihn — indem er an sich eine unendliche 



* Vergl. hierzu die Abhandlung von Stäckel, Untersuchungen Johann 

 Bolyai's aus der absoluten Geometrie, die demnächst in diesen Berichten 

 erscheinen wird. 



