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J. KUKSCHAK UND P. STACKEL. 



einen Mittelpunkt haben, falsch. Man kann aber den Begriff von 

 Kugel und Kreis so verallgemeinern, dass darin nicht nur F und L, 

 sondern auch die Hypersphären und Hypercyklen enthalten sind."* 

 „Für F und L kann man dies sogar rein geometrisch er- 

 reichen, wenn man folgende Definition aufstellt: bc liegt an ac, 

 wenn alle Punkte von oc auf derselben Seite von bc liegen, jedoch 

 jede Gerade bp, die durch b in A abc gezogen wird, ac schneidet. 

 Hier können ac und bc auch unendliche Geraden sein." 



„Analytisch kann die Verallgemeinerung nicht nur für F 

 und L, sondern auch für die Hypersphären und Hypercykel da- 

 durch erfolgen, dass man 

 bei den überall gleich- 

 massigen Flächen jene 

 Länge einen Strahl (Ra- 

 dius) nennt, mit der man 

 die auf dieser Fläche ge- 

 legenen Dreiecksseiten zu 

 messen hat, damit man die 

 Formeln der sphärischen 

 Trigonometrie unmittelbar anwenden kann." 



„Den Namen Grenzdreiecke, den Lobatschewsky Dreiecken 

 auf F giebt, möchte ich zweckmässiger für ein Paar Asymptoten 

 auf endlicher oder unendlicher Basis gebrauchen." 



Von dem Beweise, der in § 33 für die Gleichung 

 s'= se~ x 

 gegeben wird, sagt Johann mit Recht, dass er „nicht so durch- 

 sichtig ist, wie er sein sollte"; auch Hoüel hat in seiner fran- 

 zösischen Uebersetzung der Geometrischen Untersuchungen hier eine 

 erläuternde Anmerkung unter dem Texte für erforderlich gehalten. 

 Uebrigens lässt die Herleitung, die Lobatschewsky im Jahre 

 1837 in § 117 der Neuen Anfangsgründe gegeben hatte, an Klar- 

 heit nichts zu wünschen übrig, und nur das Streben nach Kürze 



* [Ueber die Definitionen von Hypersphäre und Hypercykel vergleiche 

 die eben angeführte Abhandlung von Stäckel.] 



