BEMERKUNGEN J. BOLYAl's ÜBER LOBATSCHEWSKY. 267 



3. zwischen zwei Seiten und den ffeg-enüberliee-enden Winkeln, 

 ahAB, 



4. zwischen drei Winkeln und einer Seite, aABC." 



„Die Gleichungen, die wir erhalten werden, enthalten Kreis- 

 functionen, und wir bemerken schon jetzt, dass eine Zweideutig- 

 keit bei der Auflösung von Dreiecken immer nur daraus entsteht, 

 dass das gesuchte Element nur durch seinen Sinus bestimmt wird." 



„Aber gehen wir weiter. Dass zwischen einem Bogen und 

 seinen Kreisfunctionen keine allgemeine algebraische Relation be- 

 stehen kann, das habe ich — soweit ich weiss und wie ich glaube 

 auf Erden als erster — mit voller Strenge an anderer Stelle be- 

 wiesen, wie auch folgende Lehren von ähnlicher Natur: wann 

 man einen Kreis aus einem Quadrat und überhaupt Figuren aus 

 einander zusammenlegen, also ihre Endlich- Gleichheit darlegen 

 kann; dass man irrationale dritte und höhere Wurzeln nicht durch 

 Quadratwurzeln ausdrücken, also nicht geometrisch construieren 

 kann; die algebraische Radicallehre mit einer gründlichen Theorie 

 der algebraischen Gleichungen, durch die vollkommene Ergänzung 

 des scharfsinnigen zehnten Buches von Euklid. Eine solche 

 Lehre ist auch der strenge Beweis, dass es unmöglich ist, über 

 die Richtigkeit des XL Axioms zu entscheiden. — Mit dem Ge- 

 sagten will ich aber nicht behaupten, dass man nicht bei einigen 

 besonderen Bögen, sagen wir bei dem Bogen ]/2, eine algebraische 

 Relation mit dem Sinus finden könne, nicht einmal soviel behaupte 

 ich, dass man it nicht algebraisch ausdrücken könne, da es ja 

 nicht einmal entschieden ist, ob % rational sei oder nicht. Aber 

 das behaupte ich, dass man die oben erwähnten vier trigono- 

 metrischen Gleichungen nicht durch algebraische Relationen aus- 

 drücken könne."* 



„Untersuchen wir nun, bevor wir noch jene vier Gleichungen 

 kennen, ihren Inhalt und wie weit die eine in den anderen enthalten 

 ist; dabei beschränken wir uns auf das sphärische Dreieck, da 

 dessen Trigonometrie in dem antieuklidischen Räume nicht nur 



* [Nachträglich hat Johann mit Bleistift hinzugesetzt: „Aber auch das 

 ist fraglich. Aclhuc sub iudice lis est." Mau wird hiernach auch die vor- 

 hergehenden Behauptungen nur als Verniuthungen zu betrachteu haben.] 



