268 J. KÜRSCHAK UND P. STÄCKEL. 



mit der ebenen Trigonometrie übereinstimmt sondern sich daraus 

 auch, die i^-Trigonometrie ergiebt, indem man den Radius unend- 

 lich wachsen lässt." 



„Aus der ersten Gleichung [also aus abcÄ\ ergiebt sich 

 durch Vertauschimg von a und A mit b und B eine ähnliche 

 Gleichung bacB oder abcB. Vertauscht man hingegen a und A 

 mit c und C, so gewinnt man abcC. Sehen wir nun, was aus 

 zwei solchen Gleichungen folgt. Wenn wir aus abcA und abcB 

 einmal a, ein andermal c eliminieren, so gewinnen wir bcAB 

 und ab AB. Diese müssen mit der zweiten bez. dritten Gleichung 

 identisch sein, denn sonst könnte man eine Grösse eliminieren 

 und würde eine Gleichung zwischen drei Elementen erhalten, was 

 unmöglich ist, da drei Elemente zwischen gewissen Grenzen beliebig 

 gewählt werden können. Aus bcAB fliesst die ähnliche Glei- 

 chung bcAC, und wenn wir b eliminieren, so erhalten wir cABC. 

 Also enthält die erste Gleichung auch die übrigen in sich." 



„Aus der ziveiten Gleichung bcAB fliesst — wie schon gesagt 

 — cABC. ' Diese vierte Gleichung unterscheidet sich von der 

 ersten nur dadurch, dass, wo in der einen grosse Buchstaben 

 stehen, in der anderen kleine sind. Also fliessen aus der vierten 

 Gleichung und folglich auch aus der zweiten alle übrigen." 



„Nur die Gleichungen ab AB, acAC, bcBC der dritten Art 

 haben die Eigenschaft, dass durch Elimination aus je zweien 

 immer die dritte herauskommt. Man gewinnt also auf diese 

 Weise nie etwas Neues."* 



Johann betrachtet nunmehr das rechtwinklige Dreieck, bei 

 dem, wenn C ein rechter Winkel ist, nur die 6 Gleichungen abc y 

 abA, acA, acB, aAB, cAB (und die durch Vertauschung der 

 Buchstaben daraus entstehenden) auftreten und untersucht ihre 

 Abhängigkeit von einander. Da er den Umstand übersehen hat, 

 dass in den durch Elimination erhaltenen Relationen zwischen 



* In verschiedenen Aufzeichnungen hat Johann versucht, aus dem 

 Sinussatze ab AB die erste Gleichung, und damit alle, zw erhalten, indem 

 er das Dreieck durch eine Transversale in zwei theilt und den Sinussatz 

 auf die Theildreiecke anwendet; die wirkliche Durchführung der Rechnung 

 zeigt aber, dass man auf diese Weise immer nur zu dem Sinussatze für das 

 ursprüngliche Dreieck zurückgelangt. 



