BEMERKUNGEN J. BOLYAl'S ÜBER LOBATSCHEWSKY. 269 



vier Elementen eins von selbst herausfallen kann, sind seine De- 

 ductionen nicht stichhaltig und sollen daher unterdrückt werden. 



Nachdem er dann Lobatschewsky's Herleitung der Glei- 

 chungen zwischen den Seiten und Winkeln eines rechtwinkligen 

 sphärischen Dreiecks (G. U. S. 45 — 50) mit einigen unerheblichen 

 Aenderungen wiedergegeben hat, bemerkt er: 



„So mit den Zehen auf Kanten balancierend, bringt Loba- 

 tschewsky wunderbar und geschickt in der Weise der grössten 

 Artisten die Selbständigkeit der sphärischen Trigonometrie heraus." 



„Aber dieser Theil der Sache kann auch ohne alle solche 

 Vorbereitungen auf folgendem Wege erledigt werden. Wenn der 

 Radius der Kugel ~~ 0, dann sind auf der Kugel die Verhältnisse 

 entweder dieselben als in U oder aber — um mich kurz auszu- 

 drücken — sie nähern sich diesen. Nun aber sind diese Ver- 

 hältnisse bei jedem Radius dieselben, also [kann nur der erste 

 Fall eintreten]." 



„Auch der folgende Weg führt zum Ziele. Es ist U die 

 Grenze von S für i^oo. Da nun in U die bekannten Formeln 

 der sphärischen Trigonometrie bestehen, so kann in S die sphä- 

 rische Trigonometrie nur so beschaffen sein, dass sie entweder 

 stets mit der in 2J übereinstimmt oder aber wenigstens beim 

 Grenzübergang zu den in U gültigen Relationen führt. Da aber 

 im sphärischen Dreieck alle Bestandtheile [auch die Seiten eigent- 

 lich] nur Winkel sind, so sind die Formeln der sphärischen Tri- 

 gonometrie stets dieselben. Folglich kann von beiden Fällen nur 

 der erste gelten." 



In § 36 bestimmt Lobatschewsky die Function H (x) und 

 findet die Gleichung 



tg.{7I(a?) = e-* ; 



„wo e jede beliebige Zahl sein kann, die grösser als die Einheit 

 ist, weil II(x) = für x = oo". Indem er glaubt, hier den 

 schwachen Punkt in der Stellung seines Feindes gefunden zu 

 haben, führt Johann gegen diese zwei Zeilen der Geometrischen 

 Untersuchungen einen wuchtigen Angriff. In der That lässt sich 

 nicht leugnen, dass hier ein Mangel vorliegt, der freilich nicht 



