BEMERKUNGEN J. BOLYAl'S ÜBER LOBATSCHEWSKY. 271 



Ein Fehler würde bei Lobatschewsky nur dann vorliegen, 

 wenn er ohne Beweis die Gleichheit der beiden Constanten be- 

 hauptet oder gleichseitig die beiden Gleichungen 



j=er; tg|JZ(aO=<r« 



mit demselben Werthe der Constanten e, also etwa beide Male 

 mit e als Basis der NEPER'schen Logarithmen, angewandt hätte. 

 Das ist jedoch, wie man sich leicht überzeugt, nicht der Fall, 

 vielmehr tritt in § 36 allein die zweite Gleichung auf (S. 55 

 und implicite S. 60 — 61), dann aber ist es an und für sich gleich- 

 gültig, welchen Werth man der Constanten e beilegt, und daher 

 erlaubt, den für die Durchführung der Rechnungen bequemsten 

 Werth zu nehmen. 



Hierin liegt wohl auch der Grund, dass Lobatschewsky, 

 dessen Endziel war, da „der Umfang seiner Arbeiten vielleicht 

 seine Landsleute gehindert habe, dem Gegenstande zu folgen", 

 allein das „Wesentliche seiner Untersuchungen darzulegen", die 

 Frage nach der Beziehung zwischen den beiden in den §§ 33 und 

 36 auftretenden Constanten nicht erörtert hat, obivohl ihm ihre 

 Gleichheit sehr wohl bekannt ivar; er brauchte diese eben nicht 

 zur Ableitung der Gleichungen zwischen den Seiten und Winkeln 

 eines Dreiecks, deren Aufstellung den Abschluss seiner Geometri-' 

 sehen Untersuchungen bilden sollte. 



Dass Lobatschewsky jene Gleichheit 1840 schon kannte, 

 zeigt seine Abhandlung: lieber die Anfangsgründe der Geometrie vom 

 Jahre 1829. Dort leitet er nämlich zuerst die Gleichung für 

 II(x) her (Engel, a. a. 0. S. 20) und beweist erst später (S. 33), 

 dass alsdann s' : s = e~ x ist, „eine Gleichung, die man auch un- 

 mittelbar erhalten kann, indem man sich auf die Eigenschaften 

 der Grenzkreise stützt". Hiermit ist augenscheinlich die Her- 

 leitung gemeint, die er 1836 in den Neuen Anfangsgründen (§ 117, 

 Engel, S. 189—190) gegeben und daraus 1840 in die Geometri- 

 schen Untersuchungen herübergenommen hat*. Hierdurch wird die 



* In den Neuen Anfangsgründen wird, genau wie in den Geometrischen 

 Untersuchungen, die Gleichung für TL(x) erst nachher abgeleitet (§ 137, 

 S. 212 — 214), ohne dass über die Beziehung zwischen den beiden Constanten 

 etwas gesagt würde. Wenn Engel in der Anmerkung zu S. 33 (S. 265) 



