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J. KÜRSCHAK UND P. STACKEL. 



Behauptung Johann's, dass der Verfasser dieses Werkes den 

 Appendix gekannt haben müsse, in dem die Gleichheit der beiden 

 Constanten bewiesen wird, widerlegt, und damit fällt gleich- 

 zeitig die Folgerung, die er daraus zieht, 

 dass nämlich „hier wahrscheinlich eine 

 sowohl moralisch als auch wissenschaftlich 

 makelhafte Sache vorliege". Ebensowenig 

 ist es richtig, dass Lobatschewsky „zu- 

 fällig" oder weil er „durch den Appendix 

 irregeführt wurde", darauf gekommen sei, 

 die beiden Constanten einander gleich zu 

 setzen. Es wird daher genügen, von 

 Johann's Bemerkungen zu § 36 nur den 

 Beweis für die Gleichheit der beiden Con- 

 stanten mitzutheilen, der noch heute von 

 Interesse ist*. 



Um den unvollendeten Beweis zu er- 

 aö, fitt|||am, dann in der Ebene ficttnrßp Lab, 

 = #, ac = ob = c, cb L bp, uud cb schneide 



,sei am 



ganzen, „ 



Aabn = u, Apbn 



Ott im Punkte e. Dann ist 



cotg i u = cotg (i B — | s) = ■ j 



i + tgi* 



tg-i 



wo iv [sogar im Verhältnisse zu z\ sich der nähert, wenn 

 c ~~ 0." 



„Andererseits ist dann [nach § 23 des Appendix] 



bemerkt, ,,in § 137 zeige sich, dass diese Wahl der Längeneinheit mit 

 der früher getroffenen übereinstimme", so beruht das, wie er selbst zu- 

 gesteht, auf einem Irrthume. 



* Ein einfacher Beweis der Gleichheit ist bereits von F. Engel in 

 der Abhandlung: Zur nichteuklidischen Geometrie (Berichte, Leipzig 1898, 

 S. 188 — 190) gegeben worden; Engel zeigt sogar, wie man ohne weitere 

 Grenzübergänge von der Gleichung s' = s ■ e~~ x unmittelbar zu der Gleichung 



tgin(x) = e-* 



gelangen kann. Der Beweis Johann Bolyäi's setzt dagegen die Gleichung 



l 



(cotg \ FL {x)) x = const. schon als bewiesen, voraus. 



