274 J. KÜESCHÄK UND P. STÄCKEL. 



werde, und vermisst die "wichtigen Bemerkungen, dass „die Ver- 

 hältnisse in der ebenen Trigonometrie von S auch dann denen in U 

 sich nähern, wenn 2^00", dass „die S- Geometrie, wenn man 

 für den Fall von 27 die i ^ 00 entsprechenden Grenzwerthe 

 nimmt, als Grenze auch 2J in sich enthält, sodass £ in diesem 

 Sinne — wenn auch ohne festen Grund gebaut — doch selb- 

 ständig und unabhängig richtig ist", und dass, wenn „man das 

 ^ 0-seitige Dreieck mit dem endlichen F- Dreieck vergleicht, 

 durch Grenzübergang aus der ebenen Trigonometrie auch jene 

 von F erhalten werden kann." In der That ist es ein wichtiger 

 Vorzug des Appendix, dass die Formeln der Trigonometrie die 

 Constante i enthalten, sodass man, in der modernen Ausdrucks- 

 weise, das Krümmungsmaass des Raumes variieren kann, während 

 diese Formeln bei Lobatschewsky abgeleitet werden, indem von 

 vornherein i = 1 gesetzt wird. 



Von grösserer Bedeutung ist die Kritik des Ausspruches 

 Lobatschewsky's, dass die gewonnenen Formeln der ebenen 

 Trigonometrie c für sich selbst schon eine hinreichende Grund- 

 lage gewähren, um die Voraussetzungen der imaginären Geometrie 

 als möglich anzusehen'. „Um dies behaupten zu können", be- 

 merkt Johann, „dazu wäre ein strenger Beweis nothwendig, den 

 ich in aller mathematischer Strenge führen werde, um jeden 

 Zweifel, jede Unklarheit und jeden eitlen Hoffnungsstrahl auf 

 ewig zu entfernen". Wenn er hiermit gemeint hat, dass aus der 

 Widerspruchslosigkeit der Formeln der ebenen Trigonometrie 

 noch nicht folge, dass das XL Axiom nicht durch räumliche Con- 

 structionen bewiesen werden könne, so ist dieser Einwand ohne 

 Zweifel berechtigt. In der That hat Johann's Nachlass gezeigt, 

 dass er hier über Lobatschewsky's Standpunkt hinausgekommen 

 ist, ohne dass ihm freilich die wirkliche Durchführung des „strengen 

 Beweises" geglückt wäre*. 



Weiter erklärt Lobatschewsky, dass es demnach kein anderes 

 Mittel gebe, um über die Genauigkeit zu urtheilen, die den Be- 

 rechnungen der gewöhnlichen Geometrie zukomme, als die astro- 



* Ausführliche Angaben findet man in der schon erwähnten Abhand- 

 lung von Stäckel. 



