278 J. KÜRSCHAK UND P. STÄCKEL. 



Den Schluss der Geometrischen Untersuchungen bildet die 

 Bemerkung, dass c die Gleichungen der ebenen Trigonometrie in 

 die Gleichungen für sphärische Dreiecke übergehen, wenn man 

 statt der Seiten a,b,c setzt «]/ — 1, b~\/ — 1, c]/ — 1.' Denn 

 alsdann müsse man 



sin 77 (a) durch , cos 77 (a) durch ]/ — 1. tga, 



l 

 tg 77 (a) durch ,, — -~ — 

 r v y V — 1 sm a 



ersetzen und auf ähnliche Weise auch bei den Seiten b und c 

 verfahren. Dies ins Reine zu bringen hat Lobatschewsky aller- 

 dings dem Scharfsinn des Lesers überlassen, und insofern darf 

 seine Darstellung als zu knapp bemängelt werden, allein einen 

 Fehler, wie Johann meint, hat er damit nicht begangen. 



Von erheblicherer Bedeutung ist es, wenn Johann sagt, dass 

 Lobatschewsky nur „wahrgenommen" habe, dass durch Einsetzung 



„von für sin II (a)" die Formeln der ebenen Trigonometrie 



cos a v J ° 



in die der sphärischen übergehen, und dass ihm die „tiefere Ein- 

 sicht zu ermangeln scheine". In der That war Johann hier dem 

 Wesen der Sache näher gekommen, ohne freilich ganz durchzu- 

 dringen, nämlich den Zusammenhang zwischen der absoluten Geo- 

 metrie und der Geometrie der geodätischen Linien auf den Flächen 

 constanten negativen Krümmungsmaasses zu erkennen*. 



Jene „tiefere Einsicht" hat Johann mit folgenden Worten 

 formuliert: 



„Wie man [in den Formeln der sphärischen Trigonometrie] 

 die Seiten des Dreiecks durch jenen Z-Bogen theilen muss, dessen 

 senkrechte Ordinate gleich dem geraden Radius jener Kugel ist, 

 ebenso muss man in der Ebene, um jene Formeln anwenden zu 

 können, die Seitenlängen mit iy — 1 getheilt einsetzen. Ist also 

 der Kugelradius so gross, wie die Ordinate des Z-Bogens, der 

 gleich einer beliebig gewählten Einheit ist, so kann man mit den 

 Seiten selbst rechnen. In diesem Sinne kann man sagen, die 



* Genauere Angaben über Johann's diesbezügliche Untersuchungen 

 findet man in der schon erwähnten Abhandlung von Stäckel. 



