BEMERKUNGEN J. BOLTAl'S ÜBER LOBATSCHEWSKY. 279 



Ebene sei eine Hypersphäre vom X-förmigen Radius «']/ — 1 oder 

 einem geraden Radius 



a = \itiy — 1 -f- 2miti, 

 wo m eine beliebige ganze Zahl bedeutet." Dass beide Aus- 

 drucksweisen dasselbe besagen, „erhellt aus der in § 30 des 

 Appendix enthaltenen und auch mit Hülfe der Integralrechnung 

 leicht beweisbaren Gleichung 



s = i eotgu 

 und der Gleichung 



=V-i 



s = V — l sin 



i ]/— 1 

 die aus der obigen Formel 



tg u = - 



-./ — 1 ■ a 

 y — l sin 



vl/—l 

 fliesst." 



„Da die imaginären X- förmigen oder geraden Radien bisher 

 noch nirgends definiert waren 7 so können diese Ausdrücke nicht 

 missverstanden werden/' 



„Das Gesagte kann man auch leicht auf die zur Ebene 

 äquidistanten Flächen ausdehnen, und man gewinnt so eines der 

 schönsten, wichtigsten und interessantesten Resultate in der ganzen 

 Geometrie und überhaupt im ganzen Bereiche des Denkens." 



Die Einsicht, dass in der Ebene die Hypercykeln zu dem 

 Systeme der. Kreise, Grenzkreise und Geraden, im Räume die 

 Hypersphären zu dem Systeme der Kugeln, Grenzkugeln und 

 Ebenen gehören und dass die Geometrie auf den Hypersphären 

 mit der absoluten Geometrie der Ebene im wesentlichen identisch 

 ist, scheint Johann Bolyai eigentümlich zu sein, denn bei 

 Lobatschewsky findet sich nur ein einziges Mal die Linie der 

 Punkte gleichen Abstandes von einer Geraden erwähnt (Ueber die 

 Anfangsgründe 1829, Engel a. a. 0. S. 34). 



