282 P. STÄCKEL. 



I. Abschnitt. 

 Sphärische und hypersphärische Trigonometrie. 



Unter den Nachträgen, die Wolfgang Bolyai dem zweiten 

 Bande des Tentamen beigefügt hat, findet sich anch (S. 380 — 383) 

 ein Zusatz zu dem Appendix des ersten Bandes. 



„Endlich sei es erlaubt" beginnt Wolfgang, „als Zugabe 

 etwas beizufügen, was von dem Verfasser des Appendix des früheren 

 Bandes herrührt; der allerdings entschuldigen möge, wenn ich 

 etwas nicht so scharf wie er aufgefasst habe . . . Die Sache lässt 

 sich in wenigen Worten so darstellen: Die Formeln der sphärischen 

 Trigonometrie (die in dem genannten Appendix unabhängig vom 

 XL Euklidischen Axiom bewiesen worden sind) stimmen mit den 

 Formeln der ebenen Trigonometrie überein, wenn man (auf eine 

 sogleich zu erklärende Art) die Seiten eines sphärischen Dreiecks 

 als reell, die eines geradlinigen aber als imaginär ansieht, sodass 

 die Ebene hinsichtlich der trigonometrischen Formeln als imaginäre 

 Kugel angesehen werden darf, wenn man als die reelle Kugel 

 diejenige annimmt, in der R = 1 ist." Es folgt eine ausführ- 

 liche Begründung dieser Behauptung, deren Wiedergabe hier nicht 

 erforderlich erscheint. 



In Aufzeichnungen, die noch aus der Zeit vor dem Er- 

 scheinen des zweiten Bandes stammen, berichtet Johann, dass er 

 seinen Vater „nach vollendetem Drucke (des Appendix) schriftlich 

 aus Lemberg* darauf aufmerksam gemacht [habe], dass, wenn man 

 sämmtliche Seiten des geradlinigen Dreiecks, auf i als Einheit der 

 Länge bezogen**, als ebenso grosse imaginäre Grösse ansieht, alle 

 Relationen in geradlinigen Dreiecken denen in Kugeldreiecken 

 vollkommen analog seien, z. B. in einem rechtwinkeligen Dreieck, 

 worin a, b Katheten, c Hypotenuse ist, wenn das Dreieck sphä- 

 risch ist: 



cos c = cos a ■ cos b, 



* Der Appendix ist Anfang 1831 gedruckt worden. Johann war 1831 

 nach Lemberg versetzt worden, wo er bis zürn 5. Mai 1832 geblieben ist; 

 dann kam er nach Olmütz. 



** Vergl. § 30 des Appendix, dessen Kenntnis zum Verständnis des 

 Folgenden erforderlich ist. 



