UNTERSUCHUNGEN J. BOLYAl's AUS DER ABSOLUTEN GEOMETRIE. 283 



und. also ; wenn es geradlinig ist: 



cos -f- c = cos -f- a • cos -\- b. 



Und so werden die beiden Trigonometrien höchst einfach in eine 

 zusammengezogen. Und ich bedauere es doch, es nicht wenigstens 

 angezeigt zu haben, da es jeder sogleich bemerken muss. Es war 

 mir auch, seit ich diese Formeln zuerst fand, keineswegs entgangen, 

 allein damals nur vorzüglich die Materie der Parallelen als Haupt- 

 sache im Auge haltend und die allgemeine Unvollkommenheit 

 und Unbegreiflichkeit der Lehre von den imaginären Grössen er- 

 wägend, konnte ich mich — ungeachtet des Versuches, diese Idee 

 nicht fallen zu lassen — nicht entschliessen, eine so unvoll- 

 kommene Lehre, als die Imaginäre bis dahin war, aufzunehmen, 

 und, da die damals durch die Umstände gebotene Kürze nicht er- 

 laubte, sich darauf einzulassen, so beschloss ich, obschon sehr 

 ungern, es auf eine andere Gelegenheit aufzusparen." 



Eine solche Gelegenheit bot sich im Jahre 1837, als Johann, 

 durch eine von der Fürstlich JABLONOWSKi'schen Gesellschaft zu 

 Leipzig gestellte Preisaufgabe veranlasst, seine „im Wesentlichen 

 im Jahre 1831 ausgedachte" Theorie der imaginären Grössen aus- 

 arbeitete. In § 9 seiner Responsiq heisst es: 



„In dem Anhange des ersten Theiles des Werkes: Tentamen . . . 

 werden die Formeln der ebenen Trigonometrie für den Fall ge- 

 geben, dass der Lehrsatz, den Euklid (nach dem Urtheil aller 

 scharfsinnigeren Geometer) irrthümlich unter der Form des 

 XL Axioms aufgeführt hat, falsch sein sollte (nachdem vorher die 

 Raumlehre unabhängig von dem genannten Axiome aufgebaut 

 worden ist). Ohne Mühe folgt aus diesen Formeln, dass 



. a . . c 



sm -f- — = sm a • sm -f- — , 



. c , a , b 



cos -4- — = cos -4- — • cos 4- -.- 



ist, wenn a, b, c die Katheten und die Hypotenuse, a den der 

 Kathete a gegenüberliegenden Winkel bezeichnet, und endlich i 

 eine gewisse Gerade, die eben daselbst erklärt wird (und die bei 

 der vorliegenden Annahme an und für sich bestimmt ist); aus 

 diesen beiden Gleichungen ergeben sich alle übrigen der ebenen 



