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Trigonometrie. Die Betrachtung dieser Gleichungen zeigt, dass 

 die rechtwinkligen ebenen Dreiecke und daher die ganze Ebene 

 sowie die von ihr gleichweit abstehenden Flächen, die ich, 

 ebenfalls auf diese Theorie verfallend, schon vor vielen Jahren 

 hijper sphärische Flächen genannt habe*, genau auf dieselbe Art 

 wie die Kugelfläche in der Rechnung behandelt werden können. 

 Nennt man dabei diejenige Grösse r, durch die die Seiten eines 

 [rechtwinkligen]** Dreiecks auf einer gewissen, überall gleich- 

 förmigen Fläche zu theilen sind, damit man 



c ab 



cos — = cos — • cos — 



r r r 



setzen darf, z. B. den Parameter der Fläche, so werden die Para- 

 meter der Kugelflächen reelle, die Parameter der von der Ebene 

 gleich weit abstehenden Flächen imaginäre Grössen (d. i. Grössen, 

 die wirklich existieren, aber mit den Zeichen -f-, -&- behaftet 

 sind); der Parameter der Ebene wird -*-i (oder ebensogut -f- i)." 



„Man kann die Sache jedoch auch anders auffassen. Man 

 könnte die Ebene als zum Parameter i gehörend betrachten und 

 die Geraden, die in der Ebene an die Stelle der Bogen der 

 grössten Kreise treten, selbst als imaginäre Bogen in Bezug auf 

 den Parameter i ansehen; auf diese Art entsprechen jedoch (wie 

 sich zeigen lässt) den Parametern, die kleiner als i sind, keine 

 solchen gleichförmigen Flächen, deren Bogen, zu dem soeben an- 

 gegebenen Zwecke, als imaginär angesehen werden dürfen." 



Auf einem Zettel, der dem Entwürfe der Piesponsio beigelegt 

 ist, findet sich eine ausführlichere Fassung des § 9, die ich, eben- 

 falls in deutscher Uebersetzung, hier wiedergeben möchte. 



„Es darf jedoch die folgende, sehr interessante Bemerkung 

 um so weniger mit Stillschweigen übergangen werden, als sie 

 höchst elegant ist, eine ausgezeichnete Anwendung der sogenannten 

 imaginären Grössen*** giebt, und es ermöglicht, die ganze vom 



* Gemeint ist mit dieser Anspielung Gauss, der in dem Briefe an Wolf- 

 gang vom 6. März 1832 (Briefwechsel Gauss- Bolyai. S. 109) die Namen 

 Parasphäre und Hypersphäre vorgeschlagen hatte. 



** [Die eckigen Klammern bedeuten überall, dass der Herausgeber die 



darin eingeschlossenen Worte dem Urtexte als Ergänzung hinzugefügt bat] 



*** Die höchst wirkliche Wissenschaft der Wahrheit darf nicht durch 



