UNTERSUCHUNGEN J. BÖLYAl's AUS DER ABSOLUTEN GEOMETRIE. 285 



XL Axiom unabhängige Raumlehre höchst einfach und bequem 

 darzustellen; worauf schon in § IV hingewiesen wurde." 



„Schreibt man der Kürze und Einfachheit wegen -f- für -f- ]/ — 1, 

 ^für _ ]/=ri ; sodass + 1- '+ 1 = — 1 und + 1 • ^ 1 = + 1 



wird, und wählt i, gemäss § III, als Einheit, so überzeugt man 

 sich leicht durch Vergleichung mit den bekannten eleganten 

 Formeln in § 311 [des Appendix], dass 



1 : sin a = sin -f- c : sin -\- a 



ist, oder, wenn man zu noch grösserer Vereinfachung nicht die 

 positiv, sondern die mit dem Zeichen -\- genommenen Seiten mit 

 a, b, c bezeichnet oder bloss c , a statt -\- c, -f- a schreibt: 



1 : sin a = sin c : sin a, 



und ebenso ergiebt sich aus II: 



cos a : sin ß = cos a, 

 aus III: 



cos c = cos a • cos b und cot a ■ cot ß = cos c, 



aus § 30: 



tg£ = -^- sin -f- y und -\- O y = 2 7t sin -f- y, 



oder wenn man festsetzt, dass ein für alle Male bei jeder Rech- 

 nung jede Gerade in der Ebene mit dem Zeichen -f- genommen 

 werden soll, wobei bloss y für -§- y und bloss O y für -f- O y 

 (indem das ganze Zeichen O y eine- Linie bezeichnet) geschrieben 

 werden darf, ist einfach: 



tg£ = -«-sin?/, O y = 2tc sin«/; 

 ferner folgt sogleich aus § 32,111: 



^ = cosg, s = p -smq, 



die Betrachtung nicht existierender Dinge befleckt werden. Welchen Sinn 

 hat y — 1 ■ Y — 1, wenn ]/ — 1 keinen hat? Alles wird sonnenklar, wenn 

 man sorgfaltig beachtet, dass die Vorsetzung der Zeichen -f-, — , -f-, -&- 

 gar nichts Anderes bedeutet, als die Art und Weise, wie die absoluten 

 Grössen in der algebraischen Rechnung behandelt werden sollen, nach einer 

 Verabredung, die man zu treffen hat. [Anmerkung Johann Bolyäi's] 



