286 P. STÄCKEL 



aus IV: 



u. s.w 



O x = 2jt cos;r — 2jr = — 2jt sinvers# 



u 



„Die grösste Aehnlichkeit oder vielmehr die vollständige Ueber- 

 einstimmung der Ausdrücke für die Grössen derselben Art auf 

 der Kugelfläche in 27 springt in die Augen. Denkt man sich 

 eine Kugel des L- förmigen Halbmessers r = 1 (deren gerader 

 Halbmesser nach § 30 gleich log nat (l -\- ]/2) ist), so ist ihre 

 Oberfläche gleich der der Kugel vom Halbmesser 1 in 27, und 

 alle vorher erhaltenen Ausdrücke stimmen vollständig überein mit 

 den Ausdrücken für dieselben Grössen auf dieser Fläche." 



„Es lässt sich allgemein beweisen, dass, wenn in irgend einer 

 überall gleichmässigen Fläche — eine solche kann, abgesehen 

 von F, nur sphärisch, eben oder einer Ebene parallel sein — 

 jede kürzeste Linie a (oder Schnittlinie mit einer durch eine Axe 

 gehende Ebene), wenn die Fläche sphärisch ist, durch eine ZahL 

 nämlich den entsprechenden Bogen in dem Winkel bei dem Mittel- 

 punkte von a, ausgedrückt wird, wenn aber die Fläche eben oder 

 einer Ebene parallel ist, durch die Maasszahl des Stückes einer 

 Geraden, in dem ersten Falle in derselben Ebene, sonst in der 

 parallelen Ebene p* } sodass das Stück zwischen die Fusspunkte 

 der Lothe [von den Endpunkten von a] auf p fällt, und falls in 

 dem früheren Falle alle Linien in derselben Fläche mit dem 

 Zeichen -f-, in dem späteren aber mit dem Zeichen -f- genommen 

 werden, — dass, sage ich, die Theorie aller dieser Flächen ganz 

 allgemein von denselben Formeln umfasst wird und von ihnen 

 allen ganz entsprechende Lehrsätze gelten. So darf man z. B., 

 wenn die Formeln der sphärischen Trigonometrie bekannt sind, aus 

 ihnen ohne jede weitere Untersuchung schliessen, dass auch für 

 geradlinige rechtwinklige Dreiecke die Formeln gelten: 



cot a = cot a • sin b 7 cot c = cot a • cos ß, u. s. w., 

 und in gleicher Weise kann man aus allen Eigenschaften der 

 Ebene, in dem angegebenen Sinne, sogleich auf Eigenschaften der 

 Kugel schliessen." 



* [Yergl. Appendix § 32, III. Die Bezeichnung parallel gebraucht 

 Johann immer in dem Sinne von äquidistant, während er Lobatschewsky's 

 Parallelen Asymptoten nennt.] 



