UNTERSUCHUNGEN J. BOLYAl'S AUS DER ABSOLUTEN GEOMETRIE. 287 



„Hier möge es genügen, nur einige besonders wichtige Eigen- 

 schaften zu streifen, um zu zeigen, in welcher Weise diese Ueber- 

 tragimg zu geschehen hat und wie man mit ihrer Hülfe die 

 Raumlehre, ohne zu wissen, ob das System 2 oder S wirklich 

 existiere, aufs bequemste analytisch behandeln kann." 



„Erstens möge bemerkt werden, dass der Kürze wegen (um 

 die Schaffung eines neuen Wortes zu vermeiden) die Bezeichnungen 

 Kugel (und Kreis) in einem erweiterten Sinne verstanden werden 

 sollen, sodass einer jeden überall gleichförmigen Fläche (und Linie) 

 dieser Name beigelegt werde. Im erweiterten Sinne oder ana- 

 lytisch heisst Strahl [Radius] jeder überall gleichförmigen Fläche 

 oder gleichförmigen Linie in der Ebene eine algebraischen Grösse, 

 die augenscheinlich ganz und gar nicht der Euklidische Strahl 

 ist, sondern die aus den soeben gefundenen Ausdrücken auf eine 

 sogleich darzulegende Art hervorgeht, Strahl einer gleichförmigen 

 Linie auf der Kugel aber ein Stück einer gleichförmigen, die 

 Kugel in zwei congruente Theile theilenden Linie, das die Krüm- 

 mung misst. Jeder Kreis hat unendlich viele Strahlen, während 

 nur ein einziger oder gar kein Euklidischer Strahl vorhanden ist,. 

 ihr Ausdruck ist: 



y ^ 2nn , 



wo n eine ganz beliebige ganze Zahl bezeichnet, mit dem Zeichen 

 -j- oder — . Auch ist 



0(y^2n7t)= Oy t 



wo das Zeichen -s- für die Ebene und die ihr parallelen Flächen 

 zu nehmen ist, das Zeichen — aber für eine sich schliessende 

 Kugel gilt." 



Die Fortsetzung dieses Manuscriptes hat sich leider nicht 

 finden lassen, als Ergänzung können jedoch einige Randbemerkungen 

 dienen, die Johann einer in deutscher Sprache abgefassten Be- 

 arbeitung der ersten 33 Paragraphen des Appendix beigefügt hat; 

 während die Bearbeitung selbst aus der Zeit zwischen 1833 und 

 1835 stammt, scheinen die Randbemerkungen niedergeschrieben 

 worden zu sein, als Johann sich um den Preis in Leipzig be- 

 warb. Zu § 30 des Appendix wird dort bemerkt: 



