UNTERSUCHUNGEN J. BOLYAl'S AUS DER ABSOLUTEN GEOMETRIE. 289 



der geraden Strahlen beider Linien der zu definierende Strahl der 

 fraglichen Linie auf der Fläche." 



Im Jahre 1851 hat Johann eine neue Darstellung dieser 

 Gedanken ausgearbeitet. Sie bildet einen Abschnitt einer Kritik 

 der ., Geometrischen Untersuchungen" von JS". Lobatschewsky, die 

 ich in Gemeinschaft mit Herrn Professor J. KüRSCHÄK demnächst 

 herausgeben werde. Bei Lobatschewsky erscheint nämlich der 

 Zusammenhang zwischen der sphärischen und der „imaginären" 

 Trigonometrie lediglich als eine analytische Thatsache, und dieser 

 formalistischen Auffassung gegenüber wollte Johann den höheren 

 geometrischen Gesichtspunkt zur Geltung bringen. Da seine Aus- 

 führungen inhaltlich nicht über das bereits Mitgetheilte hinausgehen, 

 während allerdings die neue Fassung den Vorzug verdient , so 

 möge es genügen auf jene Publication zu verweisen. 



Man muss sich auf der anderen Seite davor hüten, Johann's 

 Leistung zu überschätzen. Das zu sagen liegt deshalb Ver- 

 anlassung vor, weil seine Ausdrucksweise von modernen Geometern 

 leicht missverstanden werden kann. Wenn man von „überall gleich- 

 massigen Flächen" hört, die die Kugeln als besonderen Fall unter 

 sich fassen, wenn man (auf einem Zettel) liest: „Auf jeder gleich- 

 förmigen Fläche haben jede zwei ebene gleichförmige Linien ent- 

 weder Nichts oder 1 oder 2 Punkte gemeinsam. Im ersten Falle lässt 

 sich zeigen, dass eine gemeinsame Senkrechte da sei", so könnte 

 man auf die Vermutung kommen, dass Johann, die Entdeckung 

 Beltrami's vorausnehmend*, den Zusammenhang der absoluten 

 Geometrie der Ebene mit der Geometrie auf den (im Euklidischen 

 Raum liegenden) Flächen von constantem negativen Krümmungs- 

 maass erkannt hätte. Wenn man, um diese Vermuthung zu 

 prüfen, Johann's Aufzeichnungen durchgeht, so stösst man bald 

 auf Widersprüche. Die überall gieichmässigen Flächen (deren 

 Begriff übrigens auf WOLFGANG Bolyai zurückgeht) sind, wie 

 Johann wiederholt ausspricht, entweder Kugeln oder Grenzflächen 

 (Parasphären) oder Ebenen oder einer Ebene parallele Flächen 

 (Hypersphären), die im absoluten Räume liegen. Es werden also 



* Interpretazione cli geometria non-JEucliclea. Giornale di niat. 6 (1868). 

 Yergl. auch Gauss' Werke. Bd. VIII, S. 254. 



Mathematische und Naturwissenschaftliche Berichte aus Ungarn. XVIII. 19 



