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allerdings, wie Johann einmal sagt, „die Dreiecksformeln der 

 Kugel, auf imaginäre Seiten angewendet, im hypersphärischen Drei- 

 ecke realisiert" allein diese von der Kugel und der Ebene ver- 

 schiedenen Flächen existieren nur, wie er an einer anderen Stelle 

 ausdrücklich constatiert, „wenn das XL Axiom falsch ist". 



IL Abschnitt. 

 Die Unbeweisbarkeit des elften euklidischen Axioms. 



Johann Bolyai schliesst den Appendix mit den Worten: 

 „Es bliebe endlich übrig (um den Gegenstand ganz zu erschöpfen) 

 zu beweisen, dass es (ohne irgend eine Voraussetzung) unmöglich 

 ist zu entscheiden, ob U oder ein gewisses (und welches) S 

 existiert: das möge jedoch für eine geeignetere Gelegenheit auf- 

 gespart werden". Ausführlicher äussert er sich hierüber in § 33 

 der schon erwähnten deutschen Bearbeitung des Appendix. Dort 

 heisst es: 



„I. Ob an sich eigentlich 2J oder S bestehen kann, bleibt 

 hier (und, wie der Verfasser beweisen kann, für immer) un- 

 entschieden." 



„IL Man hat nunmehr eine absolut wahre (d. i. von aller 

 Voraussetzung freie) ebene Trigonometrie, worin jedoch die Grösse i 

 und, ob sie vorhanden sei, durchaus unbestimmt bleibt, bis auf 

 diese einzige Unbekannte aber alles bestimmt ist. Die sphärische 

 Trigonometrie aber wurde in § 26 absolut gerechtfertigt; sodass 

 die gewöhnliche bekannte sphärische Trigonometrie vom XL Axiom 

 garnicht abhängig und unbedingt wahr ist." 



„III. Mittels dieser beiden Trigonometrien und einiger (in 

 der Druckschrift § 32 angegebenen) Hülfssätze wird man der Auf- 

 lösung aller Aufgaben der Raumlehre und Mechanik, welche die 

 Analysis bei ihrer jetzigen Höhe in ihrer Gewalt hat, (in dem 

 nunmehr keiner Erläuterung bedürfenden Sinne) mächtig, und 

 die ganze Raumlehre lässt sich in besagtem Sinne von nun an 

 nach der (zwischen gehörigen Schranken mit Recht gepriesenen) 

 analytischen Methode der Neueren abhandeln." 



„IV. Tritt nun auch der Beweis der Unmöglichkeit je zwischen 

 U und S zu entscheiden hinzu (den der Verfasser gleichfalls be- 



