UNTERSUCHUNGEN J. BOLYAl'S AUS DEE ABSOLUTEN GEOMETRIE. 293 



Es lässt sich, vielmehr zeigen, dass, wenn der Ausdruck des ebenen 

 Dreiecks so aussieht: 



sni 4 — : sin 4 — ^ sm ac*, 

 1 r ' r 7 



bei r ^ i, dann i weder ein gemischter Stand, noch 0, sondern 

 ein glatter Stand** sein müsse. Denn u, s. w. Aber ob i end- 

 lich oder unendlich sei, bleibt bei Betrachtung in einer Ebene 

 ewig unentschieden." 



Wenn Johann hinzufügt: „Nun ist aber die Frage, ob nicht 

 etwa Betrachtungen im Räume doch zur Rechtfertigung von £ 

 verhelfen könnten", so formuliert er damit einen Einwand, den er 

 später gegen seinen alten Beweis erhoben hatte. „Bei der lateini- 

 schen Herausgabe der Grundzüge der neuen selbständigen Raum- 

 lehre hoffte der Verfasser noch die Unmöglichkeit etc. zeigen zu 

 können. Bei näherer Untersuchung zeigte sich vielmehr, dass 

 sowohl eine Möglichkeit da sei, für das EuKLiü'sche System zu 

 entscheiden, als auch eine des Unentschiedenbleibens, und dass man 

 (solange die Sache noch unentschieden ist) weder von einer Ent- 

 scheidbarkeit, noch von einer Unentscheidbarkeit a priori einen 

 Beweis geben könne, sodass ein weiterer Versuch zu entscheiden 

 einem Schatzgräber gliche . . . Das XL Axiom ist entweder er- 

 weislich oder unerweislich. Eine Unerweisbarkeit lässt sich durchaus 

 nicht beweisen, und auch ein Beweis davon könnte nur durch die 

 That selbst, d. i. durch einen wirklichen Beweis, nachgewiesen 

 werden." 



Wann Johann dazu gelangt ist, die Unvollständigkeit seines 

 Beweis Versuches zu erkennen, hat sich nicht mit Sicherheit fest- 

 stellen lassen. Es scheint, dass ihm schon um 1837 Bedenken 

 gekommen sind, denn in Randbemerkungen zu der deutschen Be- 

 arbeitung des Appendix, die ungefähr aus dieser Zeit stammen, 

 äussert er sich so: 



„Ob entschieden werden und die Raumlehre auch in dieser 

 Hinsicht vollendet werden könne, welches von beiden statthabe, 



* [Dabei bedeuten a,b, c die Seiten des Dreiecks, ac bezeichnet den 

 Winkel zwischen a und c, nnd der Winkel zwischen a und b wird als 

 Rechter angenommen.] 



** [Glatter Stand = reelle Zahl, gemischter Stand = complexe Zahl.] 



