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wichtigsten 11. Euklid' sehen Axioms. Von Johann JBolyai von Bolya 7 

 Je. h Genie- Stäbshauptmann in Pension." 



Die Einleitung — weiter ist er nicht gekommen — enthält 

 interessante biographische Notizen über seinen Vater und ihn 

 selbst; da Johann dabei sagt, dass sein Yater „die Briefe von 

 Gauss soeben an die Universität Göttingen zurückgesandt" habe, 

 so ergiebt sich als Abfassungszeit Juli 1856. 



Später erkannte Johann, dass er sich getäuscht hatte, indem 

 ein Rechenfehler vorlag, und dass also „in dem System von 



5 Punkten Consequenz herrsche". „Auf diese Weise kann man," 

 meint er, „zu einem System von 6 Punkten übergehen, allein die 

 Mühseligkeit der Arbeit bei der Auflösung eines Systems von 



6 Punkten ist wohl im Stande, selbst den muthigsten Rechner 

 stutzig zu machen". 



Es ergiebt sich somit, dass Johann Bolyai niemals zu 

 einer Gewissheit darüber gelangt ist, ob S im Baume auf einen 

 Widerspruch führe oder nicht. In der That liegt hier eine Schwie- 

 rigkeit vor, die zu überwinden ganz andere Mittel erforderlich 

 gewesen sind, als sie Johann zu Gebote standen*. Dass jedoch 

 Johann die Frage, ob sich das XL Axiom durch räumliche Con- 

 struetionen beweisen lasse, überhaupt aufgeworfen hat, macht 

 seinem Scharfsinn Ehre und verdient um so mehr anerkannt zu 

 werden, als er dadurch über Lobatschewsky hinausgegangen ist, 

 der zwar bemerkt, dass die imaginäre Geometrie auf keinen 

 Widerspruch führen könne, da die Gleichungen zwischen den 

 Winkeln und Seiten, eines Dreiecks in die Gleichungen der sphä- 

 rischen Trigonometrie übergehen, wenn man die Seiten als ima- 

 ginär ansieht**, der sich aber — auch in seinen späteren Ver- 

 öffentlichungen — bei der Frage der Widerspruchslosigkeit stets 

 auf die Ebene beschränkt hat. 



* Die Widerspruchslosigkeit von S im Saume hat wohl zuerst Herr 

 F. Klein (auf Grund der Untersuchungen von Cayley) nachgewiesen: lieber die 

 sogenannte Nicht-Euldidisclie Geometrie, Math. Ann. Bd. 4 (1871), S. 573 — 625, 

 Bd. 6 (1873), S. 112—145. 



** Anfangsgründe der Geometrie, Kasaner Bote (1829), S. 634 — 635 

 (vgl. F. Engel, Nikolaj Lobatschefslaj , Leipzig 1898. S. 65). 



