UNTERSUCHUNGEN J. BOLYAl'S AUS DER ABSOLUTEN GEOMETRIE. 301 



K= . — \au log (er -f- sin 2 -f- v ) — i w • sin ^- v arctg — ^~ 



-\-\u I sin -f- vrZ arctg ( — ^— j = — ~.u sin -f- v arctg ( — ^l_j , 

 o 

 wofür man auch schreiben kann 



Z = -e-jM sin -^- v ■ iv. 



Alles das gilt für beliebiges u. Ist aber u unendlich klein, 

 wie es bei dem vorher betrachteten Körper K der Fall ist, so 

 wird der Inhalt der Grundfläche et beb des Körpers K 



= -©- u sin 4- v, 



während iv = ce als seine Höhe angesprochen werden kann. „Der 

 Körper K ist also (absolut) = dem halben Producte aus der Grund- 

 fläche und der Höhe." 



Johann hat noch eine Bemerkuno; hinzup;efüo-t, die von Inter- 

 esse ist. Wenn man die Höhe w über alle Grenzen wachsen 

 lässt, so wächst auch der Inhalt K über alle Grenzen, während 

 der Inhalt der begrenzenden Flächen endlich bleibt. Er bezeich- 

 nete diese Erscheinung als „merkwürdig". Das Paradoxe, das 

 darin liegt, verschwindet aber, wenn man bedenkt, dass der Körper 

 zwar von Flächen endlichen Inhalts begrenzt ist, dass diese aber 

 sich ins Unendliche erstrecken. 



Soweit Johann. Bedenkt man nunmehr, dass Gauss am 

 6. März 1832 an Wolfgang Bolyai über die Arbeit Johann's, 

 den Appendix, geschrieben und jenen gebeten hatte, Johann auf- 

 zufordern, er möge sich mit der Aufgabe beschäftigen: 



„den Cubikinhalt des Tetraeders (von vier Ebenen be- 

 grenzten Raumes) zu berechnen", 

 beachtet man ferner, dass Wolfgang- den Brief an Johann ge- 

 sandt hat*, so erscheint es als äusserst wahrscheinlich, dass die 

 soeben mitgetheilten Aufzeichnungen Johann's auf Veranlassung 

 des Briefes von Gauss .. niedergeschrieben worden sind, und damit 

 stimmt auch vortrefflich das Datum des 5. Mai 1832. 



Höchst merkwürdig ist, dass die Methode, deren sich Gauss 

 zur Cubierung des Tetraeders bedient hatte, genau dieselbe ist %vie 



* Briefwechsel Gauss- Bolyai. S. 154. 



