98 LEOPOLD KLUG. 



trifft die Geraden UV, NN' in den Punkten X, G. HX steht 

 senkrecht auf BB' ', denn die Polare des Punktes X in bezug auf 

 d^ ist senkrecht auf HX und parallel mit B B'. . — In der Affi- 

 nität der Hyperbeln U 2) und # (2) sind HX GX entsprechende 

 Gerade; der mit HX parallelen Tangente im Scheitel V der 

 Hyperbel h^ entspricht die mit GX parallele Tangente der g( 2) 

 im Punkte W, welcher Punkt dem V entsprechend ist. Trifft 

 daher das im Punkte V auf BB' errichtete Lot die Affinitäts- 

 achse UU' in Y, so schneidet das aus Y auf NN' gefällte Lot 

 die durch V zu NN' parallel geführte Gerade im Punkte W der 

 Hyperbel g^, und YW ist die Tangente dieses Punktes. 



Die Polare des Punktes Y in bezug auf 7i (2) ist WV, also 

 ist YW, WV ein konjugiertes Polarenpaar, und da sie aufein- 

 ander senkrecht stehen, so sind sie von den Brennpunkten B, B' 

 der 7i (2) harmonisch getrennt. Da YW parallel ist mit dem zu 

 PiB! konjugierten Durchmesser der n^\ so ist sie die Polare von 

 V in bezug auf n^\ Ebenso ist die Polare des Punktes H in 

 bezug auf n^ eine Tangente von g^\ also sind die Hyperbeln g^> 

 und M 2 ) Polarfiguren von einander in bezug auf n^\ 



Bezeichnet man die Hauptachse NN' von d^ mit 2a, die 

 Nebenachse TT' mit 2 b, den Durchmesser BB' mit 2b, den Kom- 

 plementärwinkel des Neigungswinkels der letzteren mit cp, und 



wenn 



c 2 = a 2 — b 2 , c 2 = a 2 — h 2 , m 2 = a 2 — b 2 sin 2 cp, 



so folgt aus der Gleichung 



der Ellipse d&: 



& 2 sin 2 qp , ö 2 cos 2 <p .. 



r ab cos qp c b c 



= , m = a • — , cos cp = -r • — 



m } c ' r o . c 



Endlich ist das Verhältnis der Abstände der Punkte aller 

 Ellipsen cip von ihren Brennpunkten und den dazu gehörigen 

 Leitlinien c : m, oder was dasselbe ist C : a. 



Die erhaltenen Resultate aber lauten: 



„Ist NN' die Hauptachse, TT' die Nebenachse, BB', UV 

 ein konjugiertes Durchmesserpaar der Ellipse cP\ und treffen die 

 zu ihren Brennpunkten H, H' gehörigen Leitlinien die Hauptachse 



