DER KEGELSCHNITT ALS ORT VON PUNKTEN USW. 125 



Wenn sich aber die Gerade /' zur Achse der Parabel unter 

 dem Winkel qp neigt, zur Leitlinie derselben senkrecht steht uud 

 die s innerhalb der Parabel trifft, so müssen wir die Abstände 

 der Punkte der Parabel von /' im Verhältnisse 1 : sinqp ver- 

 kürzen und mit diesen verkürzten Strecken aus den betreffenden 

 Punkten der Hyperbel Kugeln beschreiben. Diese Kugeln schneiden 

 sich (laut 18 und 19) in den Punkten F, F', und das Verhältnis 

 der Abstände der Punkte der Parabel von F und f, sowie von 

 F' und /' ist gleich sin q. 



Alle diese Konstruktionen, mittels welcher man zu einem 

 Kegelschnitt e'- ] and einer Geraden f den Punli F (und F') so 

 bestimmen kann, daß das Verhältnis der Abstände der Punkte des 

 Kegelschnittes von der Geraden f und dem Punkte F (oder 1 

 ein konstantes ist, — sind zweiten Grades. 



22a. Für den Punkt F kann man einen Ort angeben, auf 

 welchem er in allen betrachteten Fällen liegen muß. 



Es sei f die Leitlinie eines Meridians d ( -- > der obigen Rotations- 

 flächen (Sferoid, einschaliges Hyperboloid, oder parab. Zylinder), 

 und F der dazu gehörige Brennpunkt. Die Polare der Geraden 

 f geht durch F und steht auf die Ebene der dW senkrecht. Die 

 Polarebene tc eines beliebigen Punktes P der Geraden /* steht 

 im Punkte F senkrecht auf der Geraden PF. 



Schneidet daher eine beliebige Ebene s eine jener Rotations- 

 flächen im Kegelschnitt e { ~ } und die Gerade /" im Punkte P, so 

 geht die Polarebene von P durch die Polare p des Punktes P 



ordinaten der orthogonalen Projektion des Punktes F auf b: 



£ = u + 2;; eos 2 qp, ?j = V sin 2 qp. 

 und der Abstand des Punktes F von der Ebene t ist 



| = cos qp yv- sin 2 qp — ip(u -\- p cos s qp). 



Bezeichnen nämlich (xy) die Koordinaten eines Punktes, so folgl 

 aus den gleichen Abständen dieses Punktes von /' und F . 



(x — m) 2 + (y — v) 1 sin- <p 

 = (x — u — 2p eos 2 qp) 2 -|- {y — v s\u-cf)--\- cos*? e- sin-qr — Lp(« -\- j)c<>~ 



die Gleichung obiger Parabel. 



F ist daher nur dann reell, wenn 



r- sin-qp — ip(u -(- P cos 2 qp) > 0. 



