DER KEGELSCHNITT ALS GUT VON PUNKTEN D8W. 133 



mit M, M lf M 2 und il/ 3 . Die Punktpaare M,M^ M,M 2 - M. M a 



sind konjugierte Pole in bezug auf die elliptischen Paraboloide 

 F^, jP 2 (2) resp. auf das hyperbolische Paraboloid F^-\ also sind 

 die Halbierungspunkte (\,C 2 , C 3 der Strecken MM X , MM 2 , MM. 

 die Scheitel derselben. 



Die Punkte S, S x sind die Brennpunkte derjenigen Haupt- 

 schnitte der Paraboloide, deren Ebenen bezw. auf den Ebenen 

 der e (2) und e/ 2) senkrecht stehen. 



Die in 27 mit p und s bezeichneten Strecken sind daher SS t 

 und Cj$, und die im Punkte 28 mit s bezeichnete Strecke ist C 3 S. 



Mittels dieser Strecken lassen sich daher die im 27. und 

 28. Punkt mit qp bezeichneten Winkel konstruieren. 



Damit haben wir in allen sechs Fällen gezeigt, wie sich die 

 angegebene Aufgabe lösen läßt, wenn der Punkt F gegeben ist. 

 Aber diese Konstruktion unterscheidet sich von der andern, bei 

 welcher nebst dem Kegelschnitt die Gerade /' gegeben ist, dadurch, 

 daß sie kubisch ist, denn sie erfordert die Bestimmung der Achsen 

 eines allgemeinen Kegels zweiter Ordnung, welche eine kubische 

 Aufgabe ist. 



Daher: 



Diejenigen Konstruktionen, mittels weichen wir eu einem 

 Tunkte F eine Gerade f so best/ »/nun können, daß dos Verhältnis 

 der Abstände der Punkte eines gegebenen Kegelschnittes > - von F 

 und f ein konstantes sei, sind im allgemeinen kubisch. 



II. Der Kegelschnitt als Ort von Punkten, 

 deren Abstandsverhältnisse von einer Ebene und einem Punkte 



konstant sind. 



31. Dreht man die drei Kegelschnitte: die Ellipse, Hyperbel 

 und Parabel um ihre Hauptachsen, so entstehen die drei Rotations- 

 flächen, welche Brennpunkte und Leitebenen haben, nämlich das 

 Ellipsoid, das zweischalige Hyperboloid und das elliptische Para- 

 boloid. Das Verhältnis der Abstände der Punkte dieser Flachen von 

 irgend einem ihrer Brennpunkte und der dazu gehörigen Leitebene 

 ist ein konstantes. Da nun jede Ebene diese Flächen in Kegel 

 schnitten trifft, so ist auch der Ort der Punkte in einer Ebene e, 



