134 LEOPOLD KLUG. 



deren Abstände von einem Baumpunkte F und von einer Ebene cp 

 in konstantem Verhältnis X stehen, ein Kegelschnitt e^X 



Bei X < 1 ist e (2) eine Ellipse (Kreis); bei X = 1 ist e^ eine 

 Ellipse oder Parabel; endlich bei 2 > 1 ist e (2) ein beliebiger 

 Kegelschnitt, denn diesen Fällen entsprechend sind die durch 

 F, (p und X bestimmten Rotationsflächen bezw. Ellipsoid, Para- 

 boloid und zweischaliges Hyperboloid. Auch geht die Schnitt- 

 linie der Ebenen s, rp stets parallel zur Leitlinie des Kegel- 

 schnittes e^X 



32. Lösen wir jetzt die umgekehrte Aufgabe, nämlich: 



Ist in der Ebene s ein Kegelschnitt e^, ferner eine beliebige 

 zu einer Leitlinie der e^ parallele Ebene cp gegeben, so bestimme 

 man den Punkt F in der Weise, daß das Verhältnis der Abstände 

 der Punkte der e^ von F und rp ein konstantes sei. 



Um die Aufgabe zu lösen, müssen wir folgende Hilfssätze 

 vorausschicken: 



1. „Geht eine Ebene % durch einen Brennpunkt F einer 

 Rotationsfläche zweiter Ordnung F^\ so steht die Gerade, welche 

 diesen Brennpunkt mit dem Pole P der Ebene % verbindet, senk- 

 recht zu dieser Ebene." 



Der Punkt P liegt nämlich in der Leitlinie desjenigen Meri- 

 dians der Fläche, dessen Ebene durch P geht. Daher steht die 

 Gerade PF nicht nur auf der Polare p x des Punktes P in bezug 

 auf jenen Meridian senkrecht, sondern auch auf der durch p 1 

 gehenden und zu jener Meridianebene normalen Ebene n. 



Daraus folgt: 



Geht die Achse eines Büschels von konjugierten Polarebenen 

 einer Rotationsfläche durch einen Brennpunkt desselben, so ist 

 es ein orthogonales. 



2. „Derjenige Kegel, welcher einen ebenen Schnitt einer 

 Rotationsfläche zweiter Ordnung von einem ihrer Brennpunkte 

 projiziert, ist ein Rotationskegel." 



Es schneide die Ebene s die Rotationsfläche F^ und . die 

 Leitebene (p derselben in dem Kegelschnitt e^ und in der Gera- 

 den p, ferner sei p x die Polare der p in bezug auf F^X Nach- 

 dem die durch p t gehenden konjugierten Polarebenen der F^ 

 auch in bezug auf denjenigen Kegel F • e^ konjugierte Polar- 



