DER KEGELSCHNITT ALS ORT VON PUNKTEN USW. 137 



tionsfläche zweiter Ordnung F (2 \ deren Brennpunkte F und F' 

 sind, so berühren dieselben FW in den Punkten eines Kegel- 

 schnittes c { -\ und die konjugierten Polarebenen des Kegels M-e^ 

 sind auch in bezug auf FW konjugiert. Da aber die konjugierten 

 Ebenen der Büschel MF und MF' in bezug auf FW, also auch 

 in bezug auf M-e^ je ein orthogonales involutorisches Ebenen- 

 büschel bilden, so sind MF und MF' die Fokalstrahlen des 

 Kegels M ■ e^\ 



Die Strahlen MF und MF' berühren aber den Fokalkegel- 

 schnitt e x (2) des Kegelschnittes e (2) in den Punkten F und F' . 

 Denn nach Früherem wird e (2 > aus F und F' durch Rotations- 

 kegel projiziert, deren Rotationsachsen die Tangenten der e^W sind. 

 Daraus folgt: 



Zwei beliebige Tangenten eines Kegelschnittes sind Fokalstrahlen 

 desjenigen Kegels, welcher den Fokalkegelschnitt des ersteren Kegel- 

 schnittes aus dem Treffpunkte der Tangenten projiziert. 



Ist also ein Kegelschnitt e (2) und ein Punkt M im Räume 

 gegeben, dessen orthogonale Projektion M auf die Ebene f der 

 e (2) auf der Hauptachse SS' dieses Kegelschnittes liegt, so sind 

 die vom Punkte M zum Fokalkegelschnitt e^ 2) der e (2) geführten 

 Tangenten die Fokalstrahlen des Kegels M ■ e ( ' 2 \ 



Kann man aber vom Punkte M keine reellen Tangenten zum 

 Fokalkegelschnitt e 1 (2) legen, so sei N der Punkt, welcher M' von 

 den Brennpunkten des Kegelschnittes e (2) harmonisch trennt, und 

 U 2) der über den Durchmesser NM' beschriebene Kreis in der 

 Ebene e. Dieser Kreis trifft eine der Winkelhalbierenden Ebenen 

 desjenigen Winkels, dessen Schenkel die von M zu den Scheitel- 

 punkten S, S' auf der Hauptachse des Kegelschnittes geführten 

 Strahlen MS, MS' sind, in zwei Punkten U, l\ welche auf den 

 Fokalstrahlen MV, MV des Kegels M-e (2) liegen. Denn die kon- 

 jugierten Polarebenen dieser Strahlen in bezug auf den Kegel 

 bilden eine orthogonale Involution. 



Fällt schließlich die orthogonale Projektion M des Punktes 1/ 

 auf die Nebenachse des Kegelschnittes ( ,{ --\ so trifft der durch M' 

 und durch die Brennpunkte F, F' dn- e -' gelegte Kreis eine der 

 Winkelhalbierenden Ebenen derjenigen Winkel, deren Schenkel 

 die Scheitelpunkte auf der Nebenachse der e- aus .1/ projizieren, 



