138 



LEOPOLD KLUG. 



ebenfalls in zwei Punkten, welche aus demselben Grunde wie 

 oben auf den Fokalstrahlen des Kegels M • e^ liegen. 



• Nehmen wir jetzt den allgemeinsten Fall an, nämlich daß 

 das Polardreieck ABC des Kegelschnittes e (2) das Spurendreieck 

 der Hauptebenen des Kegels M • e^ ist und suchen wir die Fokal- 

 strahlen und zyklischen Ebenen dieses Kegels. Die orthogo- 

 nale Projektion M' des Kegelscheitels M auf die Ebene s der e (2) 

 ist der Höhepunkt des Dreiecks ABC. Die Polare m von M' in 

 bezug auf e (2) trifft die Gegenseitenpaare BC, M'A; CA, M' ' B\ 

 AB, M'C des Vierecks ABGM' in den Punktpaaren A 1 ,A 1 '- 1 -B 1; -B/; 

 C 17 C ± '- die von den Punkten A ± ', B x ', C x ' bezw. auf die Geraden 

 A 1 M / , B ± M', C t M' gefällten Senkrechten treffen die Seiten BC, 

 CA, AB des Dreiecks ABC in den Punkten A 2 , B 2 , C 2 . Auf 

 einer Seite dieses Dreiecks bestimmen die Eckpunktpaare und 

 eines der Punktpaare A 1 A 2 , B ± B 2 , C X C 2 eine hyperbolische, auf 

 den übrigen zwei Seiten eine elliptische Involution. Die Doppel- 

 punkte jener hyperbolischen Involution werden aus dem Kegel- 

 scheitel M durch die Fokalstrahlen des Kegels M-e^ projiziert, 

 denn die durch diese gehenden konjugierten Polarebenen des 

 Kegels bilden eine orthogonale Involution. 



Zieht man durch die Eckpunkte des Polardreiecks ABC 

 Parallele zu den Achsen des Kegelschnittes e^\ so bilden diese, 

 sowie die von den Eckpunkten ausstrahlenden Seiten des Drei- 

 ecks konjugierte Strahlen einer hyperbolischen und zweier ellip- 

 tischen Involutionen. Diejenigen Ebenen, welche die Doppel- 

 strahlen jener hyperbolischen Involution aus dem Scheitel M 

 des Kegels M-e^ projizieren, sind die zyklischen Ebenen dieses 

 Kegels. 



III. Der Kegelschnitt als Ort von Punkten, deren Abstands- 

 verhältnisse von einer Ebene und einer Geraden konstant sind. 



35. Die Abstände der Punkte eines Kegels II. Ordnung K^ 

 von einem Fokalstrahle f und von seiner Polarebene <p stehen in 

 konstantem Verhältnisse.* Da aber der Kegel K^ von einer be- 

 liebigen Ebene e in einem Kegelschnitt e^ getroffen wird, so sind 



Monatshefte für Mathematik und Physik Bd. XIV S. 92. 



