DER KEGELSCHNITT ALS ORT VON PUNKTEN USW. 139 



auch die Abstände der Punkte des Kegelschnitts e { - ) von der Ge- 

 raden f und der Ebene cp in konstantem Verhältnisse. 



Ist umgekehrt ein Kegelschnitt e& und eine Ebene <p ge- 

 geben, welche mit r [2) keinen (reellen) gemeinsamen Punkt hat. 

 so kann man immer eine Gerade /' in der Weise bestimmen, daß 

 die Abstände der Punkte der e {2) von f und cp in konstantem 

 Verhältnisse stehen. Man muß nämlich durch ßM einen solchen 

 Kegel legen, daß der Polarstrahl /' von cp zugleich Fokalstrahl 

 des Kegels ist. 



Es sei G der Pol der Geraden [cp, s) = g, in welchem 9p die 

 Ebene e des Kegeschnitts e (2) trifft. Die konjugierten Polaren des 

 Punktes G in bezug auf e (2) bilden eine elliptische Involution, 

 und es gibt zwei in bezug auf £ symmetrische Achsen f, /', aus 

 welchen jene konjugierten Polaren durch ein orthogonales Ebenen- 

 büschel projiziert werden können. Diese Achsen treffen cp in den 

 Punkten M, il/'; und die Geraden f, /" sind nicht nur die Polar- 

 strahlen der Ebene cp in bezug auf die Kegel M ■ e (2) bezw. 

 M' ■ (ß\ sondern zugleich die Fokalstrahlen dieser Kegel. 



f und f haben eine gemeinsame orthogonale Projektion auf 

 der Ebene e, welche leicht bestimmt werden kann. Es gehen 

 nämlich durch G zwei orthogonale konjugierte Polaren; diese 

 trennen die Brennpunkte F, F' des Kegelschnitts e (2) harmonisch. 

 Also trifft eine dieser Polaren die durch die Brennpunkte in die 

 Teile m und n zerlegte Hauptachse von e (2) in demjenigen Teile »1, 

 in welchem die Scheitelpunkte von e (2) liegen, die andere Polare 

 in dem anderen Teil n; die erstere Polare ist die orthogonale 

 Projektion der Geraden f, f" . Steht aber die Gerade g = (cp, e) 

 senkrecht auf der Hauptachse von c (2) , und liegt somit der Pol G 

 derselben auf dieser Hauptachse, so wird die orthogonale Projektion 

 der Geraden f, f" entweder jene Hauptachse oder eine auf ihr 

 senkrechte Gerade oder ein Brennpunkt sein, je nachdem G auf 

 dem Teile m oder n oder in einem Brennpunkte selbst liegt. 

 Daraus folgt: 



Nimmt man in der Ebene e eines Kegelschnitts <" eim Ge- 

 rade g au. irclche c (2) in keinem reellen Punkte trifft und deren 

 Pol G ist, so hu»/ »KU/ zwei in bezug auf & symmetrische Ge- 

 raden f,f konstruieren, welche die Eigenschaft haben, daß dir Ab- 



