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und t t kleinere Winkel als g, also ist auch der Abstand TG des 

 Punktes T von p kleiner als von g. Man kann daher durch g 

 zwei solche Ebenen cp, cp' legen, von welchen die Absfände des 

 Punktes T gleich sind mit TG. Andererseits kann man durch 

 G zwei solche Geraden f, f legen, daß p ihre orthogonale Pro- 

 jektion auf s sei und daß aus ihnen die konjugierten Polaren des 

 Punktes G durch orthogonale Ebenenpaare projiziert werden. 

 Es haben daher alle Punkte der Hyperbel e^ von den Ebenen 

 cp, cp und den Geraden f, f denselben Abstand wie der Punkt T, 

 nämlich TG. 



Trifft die Gerade g den Direktorkreis tt 2 ** in keinen reellen 

 Punkten, so kann man von keinem Punkte der Geraden g solche 

 tangierende Halbstrahlen zu e (2) ziehen, welche einen spitzen 

 Winkel bilden, und man kann daher durch g keine Ebenen, 

 durch G keine Geraden so legen, daß die Abstände der Punkte 

 der e (2 ) von diesen gleich seien. 



Berührt schließlich die Gerade g x den Kreis U 2 ) im Punkte Q v 

 ohne e^ zu treffen, so schneidet die Polare q t von Q ± die g t im 

 Punkte P v Der dem Polardreieck G 1 P 1 Q 1 umschriebene Kreis 

 trifft Jc^ in Q 1 orthogonal, also ist P t Q t ein Durchmesser jenes 

 Kreises, und daher der Winkel P ± G x Q 1 ein Rechter. 



Die von Q t zu e^ gezogenen Tangenten t', t\ sind orthogonal, 

 also sind die Abstände ihrer Berührungspunkte T' , T t ' von g x und 

 von Q t P t = p t einander gleich. Werden nun die vom Pole G ± 

 der Geraden g t ausstrahlenden konjugierten Polaren aus den Gera- 

 den f und f (die in p ± eine gemeinsame orthogonale Projektion 

 haben) durch orthogonale Ebenenpaare projiziert, so haben die 

 Punkte der Hyperbel e^ von diesen Geraden f, f und von der- 

 jenigen Ebene cp = cp', welche in g ± auf s senkrecht steht, gleiche 

 Abstände. 



Aus diesen Untersuchungen folgt: 



1) Ist der Direktorkreis einer Hyperbel e (2) imaginär, d. h. 

 bilden die Asymptoten einen größeren Winkel mit der Haupt- 

 achse als 45°, so kann man durch keine Gerade g der Ebene e 

 der Hyperbel eine Ebene cp und durch ihren Pol G eine Ge- 

 rade /' so legen, daß die Abstände der Punkte der Hyperbel von 

 cp und /" gleich seien. 



