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Hyperbel geschnitten werden kann, deren Asymptoten mit der 

 Hauptachse einen größeren Winkel als 45° bilden, so war voraus- 

 zusehen, daß die Punkte einer solchen Hyperbel von keiner 

 Ebene und Geraden gleiche Abstände haben können. 



Aus den letzteren Untersuchungen folgt, daß man in der 

 Ebene s einer Hyperbel e^\ deren Direktorkreis k^ reell ist, 

 unendlich viele Gerade g (die Tangenten von U^) und außerhalb s 

 ebenso viele Gerade f finden kann, von welchen die Punkte der 

 Hyperbel gleiche Abstände haben. Dieselbe Eigenschaft haben 

 auch (37) in bezug auf eine Parabel, die Leitlinie und die im 

 Brennpunkte auf der Ebene der Parabel errichtete Normale. Wir 

 können daher fragen, ob man im allgemeinen zu jedem Kegel- 

 schnitt e( 2 ) solche Geradenpaare g, f finden kann, von welchen die 

 Abstände der Punkte desselben ein konstantes Verhältnis haben. 

 Diese Frage wollen wir im folgenden Abschnitte behandeln. 



IV. Der Kegelschnitt als Ort von Punkten, deren Abstands- 

 verhältnisse von zwei Geraden konstant sind. 



39. Der Ort F^> von solchen Punkten, deren Abstände von 

 zwei Geraden /' und g in konstantem Verhältnisse X stehen, ist ein 

 orthogonales Hyperboloid oder eine Entartung desselben, näm- 

 lich: ein orthogonaler Kegel, ein gleichseitiges hyperbolisches Para- 

 boloid oder ein orthogonales Ebenenpaar. Treffen sich die Ge- 

 raden /' und g, so ist F^ ein orthogonaler Kegel oder ein orthogo- 

 nales Ebenenpaar, im entgegengesetzten Falle ist F^ eine der zwei 

 anderen Flächen. Ist das Verhältnis l gleich der Einheit, so ist 

 F^ ein gleichseitiges hyperbolisches Paraboloid oder ein Ebenen- 

 paar, im entgegengesetzten Falle eine der zwei anderen Flächen* 



In bezug auf alle vier Flächen ist f, g ein Polarenpaar, und 

 die durch f und g gehenden konjugierten Polarebenen bilden je 

 ein orthogonales Ebenenbüschel. 



Eine beliebige Ebene e trifft die Fläche F^ in einem Kegel- 

 schnitt oder einem Geradenpaare, darum können wir fragen: 



Wenn ein Kegelschnitt e^ und eine Gerade f gegeben ist, wie 



Schröter, Theorie der Oberfl. II. Ord. (1880) S. 195; 74; 222. 



