DEB KEGELSCHNITT ALS ORT VON PUNKTEN USW. 147 



konstruiert man eine solche Gerade g, daß die Abstände der Punkte 

 des Kegelschnitts von f und g in konstantem Verhältnisse stehen? 



Durch e (2) müssen wir ein solches orthogonales Hyperbo- 

 loid FW (oder eine Entartung desselben) legen, daß die kon- 

 jugierten Polarebenen durch /' und auch durch die Polare g von /' 

 ein orthogonales Ebenenbüschel bilden sollen. Wir wollen nun 

 unter diesen Bedingungen die Gerade g konstruieren. Zu diesem 

 Zwecke benutzen wir folgende Hilfssätee: 



40. 1) „Werden die konjugierten Pole P, 1\ einer Fläche 

 II. Ordnung F^ aus der Geraden r durch konjugierte Polar- 

 ebenen projiziert, so werden sie auch aus der Polare >\ von r 

 durch konjugierte Polarebenen projiziert." 



Beweis. Die Pole der konjugierten Polarebenen \_Pr~], [P^] 

 sind die Treffpunkte A,B der Geraden r t mit den Ebenen [P^ 1 ], \Pr\. 

 Die Geraden P ± A } PB treffen r in den Punkten C, D. 



Die Polarebene von P 1 geht durch P, die von C durch r 1} 

 und die Polarebene von A ist die Ebene \Pr\ Da aber die 

 Punkte P x , C, A in einer Geraden liegen, so müssen sich ihre 

 Polarebenen in einer Geraden, der Polare von P 1 CA, treffen. 

 Yon den durch P und )\ gehenden Ebenen treffen sich aber nur 

 diejenigen in einer Geraden der Ebene [P/'], welche durch die 

 Gerade PBD gehen; also ist PBD die Polare von P l CA. 



Daraus folgt, daß AB CD ein Polartetraeder ist, und somit 

 die Ebenen \PD AE] = [Pt\], [P t CAE] = [P.rA konjugierte 

 Polarebenen sind. 



2) „Trennen die Punkte A, B harmonisch diejenigen Er- 

 zeugenden s l s. 2 eines orthogonalen Kegels Jf (2) , welche aus den 

 übrigen Erzeugenden durch orthogonale Ebenenpaare projiziert 

 werden, so ist das Verhältnis der Abstände der Punkte A, J! von 

 den Erzeugenden des Kegels JP 2) ein konstantes." 



Beweis. Da die Strahlen MA = a, AIB~b, welche die 



Punkte A, B aus dem Scheitel M des Kegels il/ (2) projizieren. 



konjugiert sind, so ist, wenn x eine beliebige Erzeugende des 



Kegels bedeutet*, 



sin sä, x 



sin /'..'■ 



= X = const. 



* Schböteb a. a. 0. S. 73. 



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