148 LEOPOLD KLUG. 



Aber die Abstände der Punkte A, B von x sind MA ■ sin (a, x), 



MA 

 MB 



MA 



M B • sin (b, x ) ; also ist das Verhältnis derselben ^— • % unab 



hängig von x, also konstant. 



Wir können auch sagen: 



Der Ort der Geraden x, welche durch den Eckpunkt M des 

 Dreiecks MAB gehen und deren Abstände von den zwei anderen 

 Eckpunkten des Dreiecks in konstantern Verhältnisse stehen, ist 

 ein orthogonaler Kegel. Die in der Ebene des Dreiecks liegenden 

 Erzeugenden desselben werden aus den übrigen durch orthogonale 

 Ebenenpaare projiziert. 



41. Kehren wir jetzt zurück zu unserer Aufgabe und be- 

 zeichnen wir die Spur der Geraden /' auf der Ebene e des Kegel- 

 schnitts e;( 2 ) mit U, die Polare dieses Punktes in bezug auf e< 2 ) 

 mit u. 



Das orthogonale Ebenenbüschel f trifft f in einem mvoluto- 

 rischen Strahlenbüschel U, von welchem ein konjugiertes Strahlen- 

 paar vic zugleich konjugiertes Polarenpaar ist in bezug auf e^\ 

 Diese Strahlen treffen u in den Punkten V, TT 7 , so daß das Drei- 

 eck UVW= uvw Polardreieck ist von e^\ Es mögen die Eck- 

 punkte U, W außerhalb, der Eckpunkt V innerhalb e^ liegen. 



Nun wollen wir eine Gerade g mit der Bedingung kon- 

 struieren, daß diejenigen konjugierten Pole von e^\ welche aus f 

 durch orthogonale Ebenenpaare projiziert werden, auch von g 

 aus durch orthogonale Ebenenpaare projiziert werden sollen. 



Nachdem W und ein beliebiger Punkt von w, ferner V und 

 ein beliebiger Punkt von v solche konjugierte Punkte sind von e^\ 

 welche aus f durch orthogonale Ebenenpaare projiziert werden, 

 so muß die Gerade g entweder durch W oder durch V gehen. 



Es seien A, B die Treffpunkte von u mit e (2) , C ein beliebiger 

 Punkt von e (2) ; ferner seien X, Y diejenigen konjugierten Pole auf 

 der Sehne AC, welche aus f durch ein orthogonales Ebenenpaar 

 projiziert werden. 



Das Punktpaar 17 ist durch vw getrennt, denn TJX, II Y 

 und v, w sind konjugierte Strahlen einer elliptischen Involution. 

 Das Punktpaar XY wird also entweder noch durch die Seitea- 

 paare uv oder die Seitenpaare uiv des Dreiecks uv-w getrennt; 



