DER KEGELSCHNITT ALS ORT VON PUNKTEN USW. 151 



Trifft die Gerade f den Kegelschnitt e { -\ so komeidieri g mit 

 derselben. Liegt f in der Ebene von t ■'-'' (ohne eP) zn treffen), so 

 geht g durch den Toi Den f und projiziert die konjugierten Pole, 

 auf /' durch orthogonale Ebenenpaare. 



4'2. Sehen wir jetzt, wie man die betrachtete Aufgabe in 

 dem Falle löst, wenn der Kegelschnitt c (2) eine Parabel ist und 

 die Gerade /' auf ihrer Achse senkrecht steht und die Ebene s der 

 e (2) in dem außerhalb e^ liegenden Punkte U trifft. 



Es seien wieder die Schnittpunkte der Polaren u von U mit 

 e (2) die Punkte A, B; ferner teile der Punkt V die Sehne AB 

 in dem Abstandsverhältnisse der Punkte A, B von der Geraden f. 



Die gesuchte Gerade g geht durch diesen Punkt und steht 

 entweder auf der Leitlinie oder auf der Achse der Parabel senk- 

 recht, jenachdem die Schenkel der spitzen Winkel der Geraden 

 UV und u von einer zur Leitlinie oder von einer zur Achse 

 der Parabel senkrechten und durch V gehenden Ebene getrennt 

 werden, — was allein von dem Neigungswinkel der Geraden f 

 und der Ebene f abhängig; ist. 



Im ersten Falle ist das Abstaudsverhältnis der Punkte der 

 Parabel von f und g von der Einheit verschieden; im zweiten 

 Falle aber ist dieses Abstaudsverhältnis der Einheit gleich, sodaß 

 die Punkte der Parabel von /' und g einen gleichen Abstand haben. 

 Mit anderen Worten: Der Ort der Punkte, deren Abstandsver- 

 hältnis von den Geraden f und g konstant ist, entartet im zweiten 

 Falle in ein gleichseitig hyperbolisches Paraboloid. 



Den zweiten Fall vorausgesetzt, daß nämlich sowohl /" wie 

 auch g auf der Achse der Parabel senkrecht stehen, schneide man 

 die vom Punkte A beschriebene und die Gerade /' berührende 

 Kugel mit dem durch A gehenden Parabeldurchmesser in den 

 Punkten X, Y. Diese sind solche konjugierte Pole der Parabel, 

 welche aus /" und also auch aus g durch ein orthogonales Ebenen- 

 paar projiziert werden. 



Daraus folgt aber, daß der Abstand des Punktes A von der 

 Geraden g gleich ist seinem Abstände von den Punkten A. Y 

 und also auch seinem Abstände von der Geraden /'. Es haben 

 daher alle Punkte der Parabel e { ' 2) einen gleichen Abstand von /' 

 und g. 



