154 LEOPOLD KLUG. 



44. Es wird nun unsere Aufgabe sein, solche zusammengehörige 

 Erzeugende ff, g k oder h 4 k , g. k der Kegel U^\ V^ oder W^, Z7 (2) zu 

 finden, von welchen die Punkte des Kegelschnittes e^> gleiche Ab- 

 stände haben. 



Hat ein Punkt des Kegelschnittes e^ gleiche Abstände von 

 den zusammengehörigen Erzeugenden f k , g k , so haben alle Punkte 

 von e (2 ) gleiche Abstände von diesen Geraden. Wir wollen also 

 die zusammengehörigen Erzeugenden ff, g k der Kegel U^\ V^ so 

 bestimmen, daß ein Treffpunkt A des Kegelschnitts e^ und der 

 Geraden w = UV von jenen gleiche Abstände hat. 



Wir betrachten die Strecke A W als Durchmesser einer 

 Kugel y^. Diese trifft die Kegel £/"( 2 )F (2) erstens in ihrem ge- 

 meinsamen Kreise w&\ dessen Ebene durch W gehend auf w senk- 

 recht steht. Außer diesem trifft yW jene Kegel noch in den 

 Kreisen ü (2) , v (2) , deren Ebenen durch A gehend auf v bezw. u 

 senkrecht stehen und also die Ebene e von e (2) in den auf u bezw. v 

 senkrechten Geraden ü,v schneiden. Diese Kreise ü^\v^ sind die 

 Orte der Fußpunkte der von A auf die Erzeugenden der Kegel 

 m 2 \ V<® gefällten Senkrechten. 



Daraus folgt: Eine jede zu AW senkrechte Ebene X trifft 

 die Kreise w (2) , v^ in solchen Punkten, daß die durch diese Treff- 

 punkte gehenden Kegelerzeugenden f k ,g k von dem Punkte A gleiche 

 Abstände haben. Verbindet man daher die Punkte U und V mit 

 denjenigen Punkten, in welchen eine zu A W senkrechte Gerade l 

 der Ebene e die Geraden ü bezw. v trifft, durch die Geraden f 

 und g, so sind diese die orthogonalen Projektionen von solchen 

 Kegelerzeugenden f k und g k , welche vom Punkte A gleiche Ab- 

 stände haben. Die Geraden /' und g beschreiben aber bei Ver- 

 änderung der Senkrechten l zwei projektive Büschel (/') und (g) 

 um U und V in der Ebene £. 



Wir müssen nun in. den früheren projektiven involutorischen 

 Strahlenbüscheln (f.; ff), (^<7/) solche entsprechende Strahlen suchen, 

 welche in den projektiven einfachen Strahlenbüscheln (/'), (g) eben- 

 falls entsprechend sind. 



Nun entspricht dem involutorischen Strahlenbüschel (fff) in 

 (/') infolge der letzteren projektiven Beziehung ein involutorisches 

 Strahlenbüschel (jj-) in (g), welches zugleich mit (ß-gf) projektiv 



