KRITERIUM D. INTRANS. V. ENDL. GRUPPEN LINEAR. SUBSTITUT. 179 



treffenden Dimension unterscheiden kann? Dies soll hier für 

 die endlichen Gruppen erledigt werden. Für diese hat zwar 

 MäSCHKE in der eben zitierten Note eine hinreichende, iiber bei 

 weitem nicht notwendige Bedingung angegeben. Wie es bereits 

 der Titel yon MASCHKEs Abhandlung anzeigt, besteht diese Be- 

 dingung darin, daß in den Matrices sämtlicher Substitutionen 

 wenigstens eine (nicht in die Hauptdiagonale fallende) Stelle 

 durchgehends mit Nullen besetzt sei. Wir haben hingegen schon 

 bemerkt, daß im allgemeinen die Nullen gänzlich verschwinden 

 können. Bringt man aber diese MASCHKEschen Ausführungen in 

 Verbindung mit den HERMlTEschen Formen, die, wie bekannt, In- 

 varianten zu jeder endlichen Gruppe linearer Substitutionen liefern, 

 so kommt man leicht zu folgendem Satze, dessen Beweis das 

 Hauptziel dieser Note ist: 



Die notwendige und hinreichende Bedingung der In- 

 transitivität einer endlichen Gruppe linearer Substitu- 

 tionen ist, daß eine semidefinite HERMiTEsche Form 



« ii 



i = 1 k = 1 



existiere, die bei allen Substitutionen der Gruppe in- 

 variant bleibt. Ist diese Form vom Range r (r < n), so 

 läßt sich die betreffende Gruppe von >/ teT Dimension so 

 transformieren, daß sie in eine r-dimensionale und eine 

 (w — r)-dimensionale Gruppe zerlegbar wird. 



Will man über die Intransitivität einer gegebenen Gruppe 

 Aufschluß gewinnen, so beansprucht die Anwendung dieses Kri- 

 teriums gewisse Rechnungen, welche auf die Bestimmung solcher 

 HERMlTEschen Invarianten niederer Ordnung ausgehen; dabei muß 

 sich im Falle einer nichtintransitiven (also transitiven) (Truppe 

 herausstellen, daß diese Invarianten identisch verschwinden, d. h. 

 ten Ranges sind. Wenn die Gruppe nur einigermaßen von spe- 

 zieller Gestalt ist (z. B. sobald sie eine Substitution von kano- 

 nischer Form enthält, hauptsächlich, wenn die charakteristische 



* x k und u jk bezeichnen, wie allgemein üblich, die konjugiert kom- 

 plexen Werte von x k bezw. u ;km 



12* 



