KRITERIUM D. INTRAXS. V. ENDL. GRUPPEN EIN E \ R. SUBSTITUT. 181 



Jede Invariante der Komponenten G^ oder G£ n ~ r) kann 

 aber auch als Invariante der ganzen zerlegbaren Gruppe I be- 

 trachtet werden. Nur ist H x in dieser Auffassung nicht mehr 

 definit, sondern nur semidefinit und zwar genau ; -tou Ranges. 

 Daraus folgt aber gleich, daß man für die ursprüngliche (in- 

 transitive) Gruppe eine solche semidefinite Invariante (von dem- 

 selben Range) erhält, wenn man in H 1 statt K l} X>, . . ., X r 

 wieder die ursprünglichen Variablen x t , x. 2 , . . . , x n einführt. 



2. Sehen wir nun anderseits, wie man aus der Existenz einer 

 solchen semidefiniten ÜERMiTEschen Invariante auf die Intransi- 

 tivität der Gruppe schließen kann. 



Ist 



n n 



#M = 2 ^ a ik X t x k («',,. = a ' ik ) 



X=l A=l 



eine ÜERMiTEsche Form vom Range r (r < n), die bei allen Sub- 

 stitutionen einer Gruppe G invariant bleibt, so läßt sich H^ be- 

 kanntlich stets durch eine geeignete Transformation 



x = L(X) 



auf folgende kanonische Form bringen: 



L'H^L = KW = X.X, + X,X, -f- • • • + X r X r . 



Wenn wir gleichzeitig auch die Gruppe durch L transformieren, 

 so wird die transformierte Gruppe L~ l GL diese kanonische Form 

 invariant lassen*. 



Daraus läßt sich aber folgern, daß in den Matrices ihrer 

 Substitutionen gewisse Stellen durchgehends mit Null be- 

 setzt sind. 



Wenn wir nämlich eine beliebige Substitution 



X t ^c a X k ' (t-1,2,...,») 



der so transformierten Gruppe auf die obige kanonische Form 

 anwenden, so entsteht ans den einzelnen Gliedern 



* Die hier angewandte symbolische Bezeichnungsweise ist die Fro- 



HKNirssche. 



