BERICHT ÜBEK DEN B0LTA1 PBEIS. ."IX) 



algebraischen Koeffizienten. Er gelangte hierbei zu neuen Transzen- 

 denten, die als weittragende Verallgemeinerung der elliptischen Funk- 

 tionen, oder auch der elliptischen Modulfunktionen, aufgefaßt werden 

 können, und hinsichtlich der Lösung von linearen Differentialgleichungen 

 dasselbe leisten, was die elliptischen und ABEL sehen Thetafunktionen 

 für die Integrale algebraischer Differentiale geleistet hatten. Diese 

 neuen transzendenten Funktionen sind dadurch gekennzeichnet, daß 

 sie sich gegenüber den Transformationen gewisser diskontinuier- 

 licher Gruppen von linear gebrochenen Substitutionen invariant ver- 

 halten. Sind in diesen Substitutionen (~ r , 7 ) von der Determi- 



\ ' es -f d) 



nante ad — bc = 1 alle Koeffizienten reelle Zahlen, so lassen diese 

 die Achse der reellen Zahlen fest. Werden derartige Substitutionen 

 mit einer solchen komponiert, deren Koeffizienten beliebige komplexe 

 Zahlen sind, so lassen die komponierten Substitutionen einen Kreis 

 unverändert, den Poixcare als Fundamentalkreis bezeichnet. Die hier- 

 durch gekennzeichneten Gruppen sind es, die Poincare FucHSSche 

 Gruppen nennt, während er die allgemeinsten diskontinuierlichen 

 Gruppen von linearen Substitutionen als KLEiNsche Gruppen benannt 

 hat. Vermittels der Auffassungsweise der nichteuklidischen Maßbestim- 

 mung gelang es nun Poincare die Beschreibung und Bestimmung der 

 in Frage stehenden Gruppen anschauungsmäßig zu gestalten. Jede 

 dieser Gruppen gibt. Anlaß zu einer regulären Gebietseinteilung der Ebene 

 oder des Raumes, und es kann dem Problem, alle FucHSschen oder Klein- 

 schen Gruppen aufzustellen, die Wendung gegeben werden, daß alle regu- 

 lären Gebietseinteilungen der nichteuklidischen Ebene beziehungsweise 

 des nichteuklidischen Raumes zu bestimmen sind. Durch Einführung der 

 sogenannten Zyklen konnte nun Poincare die möglichen Fundamental- 

 bereiche der FuGHSSchen Gruppen in sieben Familien einordnen und 

 schließlich die den jeweiligen Gebietseinteilungen zugehörigen Gruppen 

 auch wirklich aufstellen. Es handelte sich nun ferner um die Lösung des 

 wichtigen Problems, diejenigen eindeutigen Funktionen zu bestimmen, die 

 sich gegenüber den Substitutionen einer FucHSschen Gruppe invariant 

 verhalten. Es sind dies die von Poincare sogenannten Fuciisschen 

 Funktionen. Hierbei läßt sich Poixcare wieder durch die Analogie 

 mit den elliptischen Funktion leiten. Bekanntlich sind die elliptischen 

 Thetafunktionen selbst nicht periodisch, sondern verändern sich bei 

 Vermehrung des Argumentes mit einer Periode durch das Hinzutreten 

 eines Exponentialfaktors. Poixcare bildet nun Reihen, an denen die 

 Einwirkung der Transformationen einer FüOHSSChen Gruppe schon 

 äußerlich in Evidenz tritt und deren Verhalten dem der elliptischen 

 Thetafunktionen ähnlich ist. Dieselben sind von der Form 



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