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GUSTAV RADOS. 



wo die Summe über alle Transformationen' der Gruppe zu erstrecken 

 ist und H das Zeichen einer beliebigen rationalen Funktion bedeutet. 

 Die durch diese Reihen definierten eindeutigen analytischen Funktionen 

 sind es, die Poincare als FucHSSche Thetafunktionen bezeichnet. Die- 

 selben genügen der Funktionalgleichung 



(a k z + b k 





(W+d^m 



für jede Substitution der (g, k ~Y_J C ) der vorgelegten FuCHSSchen 



Gruppe. Übrigens muß man zwei Arten von FuCHSschen Gruppen 

 und dementsprechend von FuCHSschen Thetafunktionen unterscheiden. 

 Für die eine ist der Fundamentalkreis eine sogenannte natürliche 

 Grenze, und sie existiert nur innerhalb dieses Kreises, für die 

 andere Art finden sich an der Peripherie des Fundamentalkreises 

 nur isolierte singulare Stellen vor und die Funktionen dieser Art 

 können über diesen Kreis hinweg über die ganze Ebene fortgesetzt 

 werden. 



In Analogie zu dem üblicben Ansätze in der Theorie der ellip- 

 tischen Funktionen stellt nun Poincare durch Quotienten von ©-Funk- 

 tionen gleichen Grades m solche Funktionen her, die gegen alle 

 Transformationen der vorgelegten FuCHSschen Gruppe unempfindlich 

 bleiben. Es sind dies die FuCHSschen Funktionen, für die nun analoge 

 Gesetze gelten, wie für die elliptischen Funktionen. Die Zahl der 

 Null- und Unendlichkeitsstellen innerhalb eines Fundamentalpolygons 

 ist die gleiche. Zwei FucHSSche Funktionen derselben Gruppe sind 

 stets durch eine algebraische Gleichung verbunden, deren Geschlecht 

 mit dem anschauungsmäßig definierten Geschlechte der Gruppe überein- 

 stimmt. So ist ein Anknüpfungspunkt an die Theorie der alge- 

 braischen Funktionen gegeben, den Poincare in erfolgreicher Weise 

 zum Beweis des wichtigen Satzes benützt: Die Koordinaten der Punkte 

 einer beliebig vorgelegten algebraischen Kurve können stets als ein- 

 deutige Funktionen eines Parameters dargestellt werden. Als ähnlich 

 wirksames Instrument der Untersuchung haben sich die FuCHSschen 

 Funktionen für die Theorie der ABELSchen Integrale erwiesen, für 

 deren Reduzibilität auf Integrale niederen Geschlechtes Poincares 

 Untersuchungen als diejenigen zu erwähnen sind, die in das Wesen 

 der Frage aufs tiefste eindringen. 



Durch die Einführung der sogenannten FuCHSschen Zetafunktionen, 

 die als Quotienten einer Reihe mit rationalen Gliedern und einer 

 ©-Reihe definiert werden, gelang es Poincare schließlich zu beweisen, 

 daß vermittels dieser neuen Transzendenten die Lösungen von linearen 

 Differentialgleichungen, deren Koeffizienten algebraische Funktionen 

 der unabhängigen Veränderlichen sind, in analoger Weise ausgedrückt 



