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mique" im reichlichsten Maße bediente und damit zu ähnlichen Unter- 

 suchungen die Anregung gegeben hat. 



Eine neue Wendung gab er auch der Theorie der aus n Haupt- 

 einheiten gebildeten Zahlen durch den Hinweis auf den Zusammen- 

 hang derselben mit Lies Gruppentheorie, wodurch die Theorie der 

 komplexen Zahlen in ganz neuem Lichte erscheint und an die Lösung 

 ihrer Grundprobleme mit den Hilfsmitteln der Gruppentheorie heran- 

 getreten werden konnte. 



Erwähnt sei noch die Theorie von linearen Gleichungssystemen 

 von unbegrenzt vielen Gleichungen mit unbegrenzt vielen Unbekannten, 

 in welcher Poincare als erster allgemeine Konvergenzkriterien für 

 die auftretenden unendlichen Determinanten gab. 



Ich muß noch in Kürze derjenigen Arbeiten Poincares gedenken, 

 die den Boden für den Ausbau einer allgemeinen Theorie der analy- 

 tischen Funktionen von mehreren Veränderlichen vorbereiten. Hier 

 ist zuerst seine Abhandlung „Sur les residus des integrales doubles" 

 zu nennen. Zwischen der Theorie der Funktionen einer Veränder- 

 lichen und derjenigen von mehreren Veränderlichen zeigen sich schon 

 in den Anfangsgründen tiefreichende Unterschiede. Die direkte Über- 

 tragung von Sätzen der einen Theorie auf die andere gelang bisher 

 in den seltensten Fällen.' Poincare hat nun gezeigt, auf welche Weise 

 die grundlegenden ÖAUCHYSchen Eesiduensätze für mehrfache Integrale 

 ausgesprochen werden können und wendet dieselben auf das Studium 

 der Periodizitätsmodulen von mehrfachen Integralen und der Abel- 

 schen Thetafunktionen an. 



In diesem Zusammenhange seien noch seine Untersuchungen auf 

 dem Gebiete der Analysis situs von höhern Mannigfaltigkeiten hervor- 

 gehoben (1895 — 1904). Er gelangt hierbei u. a. zu dem wichtigen Resul- 

 tat, daß eine Mannigfaltigkeit höherer Dimension durch die Angabe der 

 BETTischen Zusammenhangszahlen allein im Sinne der Analysis situs 

 noch nicht bestimmt ist, vielmehr lassen sich zu einem System von 

 BETTischen Zahlen noch unendlich viele Mannigfaltigkeiten bilden, die 

 nicht ineinander deformierbar sind. Insbesondere ist hier zu erwähnen 

 die Ausdehnung des EuLERSchen Polyedersatzes auf Polyeder von be- 

 liebiger Dimension und beliebigem Zusammenhang. 



Poincare war es, der als erster für das folgende WEiERSTRASSsche 

 Theorem einen Beweis geführt hat: Ist eine analytische Funktion von 

 zwei komplexen Variabein überall meromorph, so. kann sie stets als 

 Quotient von zwei ganzen Funktionen derselben Variabein dargestellt 

 werden. 



Ferner sei noch einer bemerkenswerten Verallgemeinerung des 

 ABELSchen Theorems gedacht, die folgendermaßen ausgesprochen werden 

 kann: Sind (x v y^ ^), . . ., (x , y , s ) die Koordinaten der Schnittpunkte 

 einer algebraischen Fläche mit einer algebraischen Raumkurve C, sind 



