BERICHT ÜBBB DEM BOLYAJ PREI8. 339 



ferner (./■, -f dx t , //, + dy { , : t + de f ) die Koordinaten des Schnittpunktes 

 einer der C benachbarten Raumkurve C', so besteht eine Anzahl von 



Beziehungen 



X 1 dx 1 -f X 2 dj\ 2 -f • • • + Xqdäq = 0, 



wobei die X ; rationale Funktionen der sc, >/, g sind. 



Es mögen noch seine Untersuchungen über das Verschwinden der 

 ÄBELSchen Thetafunktion, sein Beweis über die Darstellung der Abel- 

 scben Funktionen durch Thetaquotienten und schließlich die Verall- 

 gemeinerung des Satzes von der Residuensumme der elliptischen Funk- 

 tionen auf AßELSche hervorgehoben werden (19Ü1' ). 



Auch die Theorie der allgemeinen gewöhnlichen Differential- 

 gleichungen hat durch Poincares Untei - suchuns:en eine Bereicherung 

 erfahren. Ich denke hierbei in erster Linie an jene topographischen 

 Untersuchungen der Lösungen von Differentialgleichungen, die gewisser- 

 maßen eine qualitative Analyse der Integrale noch vor deren Er- 

 mittelung zulassen. Diese lange Reihe von Untersuchungen, mit denen 

 PolnX'are seine Arbeit über das Dreikörperproblem gewissermaßen 

 vorbereitet hat, sind vermöge der Fülle der enthaltenen Resultate noch 

 zu einer bedeutungsvollen Rolle berufen. 



Von Poixcares zahlentheoretischen Arbeiten sei zuvörderst seine 

 Abhandlung „Sur un mode nouveau de representation geometrique 

 des formes quadratiques detinies ou indefinies" erwähnt, in der er" zu- 

 nächst eine Arithmetik der Gittersysteme (reseaux) entwickelt und 

 vermittels derselben die Aqüivalenztheoreme und die G.vusssche Theorie 

 der Komposition von quadratischen Formen in sinnreicher Weise geo- 

 metrisch darstellt. Die Übertragung der hier entwickelten Methoden 

 auf Mannigfaltigkeiten von höheren Dimensionen führte ihn später zu 

 einer interessanten Verallgemeinerung des Kettenbruch -Algorithmus. 

 Zu erwähnen sind ferner seine Arbeiten über arithmetische Invarianten, 

 die er durch Reihen und Integrale darstellt und auf die Erledigung 

 von Äquivalenzfragen anzuwenden weiß. Durch die Betrachtung der- 

 jenigen diskontinuierlichen Gruppen von linearen Substitutionen, die 

 eine ternäre indefinite quadratische Form unverändert lassen, gewinnt 

 er einen Anschluß an die Theorie der automorphen Funktionen. Jede 

 dieser Gruppen ist mit einer speziellen FuGHSSchen Gruppe isomorph. 

 Die zu dieser FucHSschen Gruppe gehörigen sogenannten arithme- 

 tischen FucHSSchen Funktionen zeichnen sich dadurch aus. daß sie 

 ein Additionstheorem besitzen, was bei allgemeinen FucHSschen Funk- 

 tionen nicht der Fall ist. Die mannigfachen Beziehungen, die zwischen 

 arithmetischen FuGHSSchen Funktionen bestehen, eröffnen der Zahlen- 

 theorie und Algebra ein aussichtsreiches Feld für neue Untersuchungen. 

 Algebraisch-arithmetischen Charakters sind -eine Arbeiten Biber die 

 Äquivalenz von Formen höherer Ordnung, die als wesentliche Weiter- 



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