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Von diesem Charakter sind schon seine ersten großen Abhand- 

 lungen, in denen Hilbert eine Begründung für den Fundamentalsatz 

 der Invariantentheorie entwickelt. Diesen Satz hatte Gordan für den 

 Fall von Systemen binärer Grundformen bewiesen; die Methoden, die 

 er hierbei angewendet hat, versagten jedoch in den Fällen, wo die 

 Grundformen mehr als zwei Veränderliche enthalten oder auch dann, 

 wenn die Grundformen mehrere Reihen von zwei Veränderlichen ent- 

 halten, die verschiedenen linearen Transformationen unterliegen. Um 

 sich die Mittel für den lange gesuchten Beweis des allgemeinen 

 Theorems zu schaffen, stellt Hilbert eine ganz neue Theorie der 

 Modulsysteme von Formen voran, in welcher er Sätze von der größten 

 Bedeutung entwickelt. Ein bereits klassisch gewordenes, tief erdachtes 

 Theorem bildet hierzu den Ausgangspunkt. Es lautet wie folgt: Ist 

 irgend eine nicht abbrechende Reihe von Formen der n Veränderlichen 

 3C ± , x % , . . . , x n vorgelegt, etwa F 1 , F 2 , F s , . . . , so gibt es stets eine 

 Zahl m von der Art, daß jede Form jener Reihe sich in die Gestalt 



F=A x F l + A 2 F 2 + --- + A m F m 



bringen läßt, wo A l , A 2 , . . ., A m geeignete Formen der nämlichen 

 Veränderlichen sind mit Koeffizienten, die demselben Rationalitäts- 

 bereiche angehören wie -diejenigen der F. Diesem Satz gab er eine 

 arithmetische Verfeinerung, indem er seine Gültigkeit auch für den 

 Fall erweisen konnte, daß den auftretenden Koeffizienten die Be- 

 schränkung, ganze rationale Zahlen zu sein, auferlegt wird. Für die 

 Modultheorie haben diese Sätze die Bedeutung, daß man aus den 

 Formen eines Moduls stets eine endliche Anzahl von Formen so aus- 

 wählen kann, daß jede andere Form des Moduls durch eine lineare 

 Kombination jener ausgewählten Formen darstellbar ist. In geome- 

 trischer Deutung heißt das so viel, daß sich durch eine gegebene 

 algebraische Raumkurve stets eine endliche Zahl von Flächen 



*i = 0, F 2 = 0, ...,F m = 



hindurchlegen lasse derart, daß jede andere die Kurve enthaltende 

 Fläche durch eine Gleichung von der Gestalt 



A 1 F 1 + A 2 F 2 + ---+A m F m = 



dargestellt werden kann, wo unter A^, . . ., A m quaternäre Formen 

 zu verstehen sind. 



Im weiteren Verlauf dieser Untersuchungen wendet sich Hilbert 

 dem Studium gewisser Systeme von linearen Diophantischen Glei- 

 chungen zu, aus deren Lösungen er die sogenannten abgeleiteten 

 Systeme bildet, und durch äußerst scharfsinnige Betrachtungen ge- 

 langt er zu folgendem abschließenden Resultat. Ist das Gleichungs- 

 system 



